Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria
Tartalomjegyzék
- 1 Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
- 2 Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
- 3 Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
- 4 Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
- 5 Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!
Lineáris egyenletrendszer:
[math]\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}[/math], ahol [math]\underline{\underline{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n} ; \underline{x} \in \mathbb{R}^n ; \underline{b} \in \mathbb{R}^m[/math]
[math]\underline{\underline{A}}[/math] az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.
Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja:
[math]\underline{a_1} x_1 + \underline{a_2} x_2 + ... + \underline{a_n} x_n = \underline{b}[/math]
[TODO]
Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?
Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?
Projektív transzformáció
[math]T_{proj} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33}\end{bmatrix}[/math]
Affin transzformáció
Megőrzi az ideális pontokat.
[math]T_{aff} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}[/math]
Hasonlósági transzformáció
- Nincs irányfüggő skálázás
- Nincs nyírás
[math]T_{simi} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}[/math]
Euklideszi transzformáció
Nincs skálázás
[math]T_{simi} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/math]
Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?
Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?
Vetítés a projektív térből a projektív síkra: [math]P_3 \rightarrow P_2[/math]
Egyenlet
[math]\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ W\end{bmatrix}[/math]
Eltűnő pont
Párhuzamos [math]P_3[/math]-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.
[math]\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ 0\end{bmatrix}[/math]
A [math]P_3[/math]-beli ideális pont képe [math]P_2[/math]-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!
- Csak, ha (X,Y,Z) merőleges [math](t_{31}, t_{32}, t_{33})[/math]-ra
- Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!
