Számítógépes látórendszerek - Ellenőrző kérdések: Matematikai Alapok, Projektív Geometria

← Vissza az előző oldalra – Számítógépes látórendszerek

Adja meg a lineáris egyenletrendszer általános alakját! Mi a megoldhatóság feltétele? Mutassa be a legkisebb négyzetek (LS) módszerét!

Lineáris egyenletrendszer: [math]\underline{\underline{A}} \cdot \underline{x} = \underline{b}[/math], ahol [math]\underline{\underline{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n} ; \underline{x} \in \mathbb{R}^n ; \underline{b} \in \mathbb{R}^m[/math]

[math]\underline{\underline{A}}[/math] az együtthatómátrix, ezt vizsgálhatjuk.

Az egyenletrendszer megoldása az oszlopvektorok lineáris kombinációja: [math]\underline{a_1} x_1 + \underline{a_2} x_2 + ... + \underline{a_n} x_n = \underline{b}[/math]

Megoldhatóság

A lineáris egyenletrendszer megoldható, ha [math] \underline{b} [/math] előáll az [math] \underline{\underline{A}} [/math] mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz benne van [math] \underline{\underline{A}} [/math] oszlopterében. A lineáris egyenletrendszer minden [math] \underline{b} \in \mathbb{R}^m [/math] vektorra megoldható, ha [math] \mathcal{O}(\underline{\underline{A}}) = \mathbb{R}^m [/math].

LS módszer

Általában a paraméterek számánál több mérési eredmény áll rendelkezésünkre, de a mérési pontatlanságok és zajok miatt az egyenletrendszer nagyon kis valószínűséggel oldható meg. A megoldás legjobb közelítése az LS (Least Squares) módszerrel kapható meg.

Mivel az oszloptér és transzponált nulltér egymás merőleges kiegészítő alterei, bármely [math] \underline{b} \in \mathbb{R}^m [/math] vektor előáll

[math] \underline{b} = \underline{\sigma} + \underline{n}, \ \ \underline{o} \in \mathcal{O} (\underline{\underline{A}}), \ \ \underline{n} \in \mathcal{N}(\underline{\underline{A}}^T)[/math]

formában. Ekkor

[math] \underline{\underline{A}} \ \underline{x} = \underline{\sigma} [/math]

[math] \underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} = \underline{\underline{A}}^T \ \underline{\sigma} + \underline{\underline{A}}^T \ \underline{n} = \underline{\underline{A}}^T \underline{\sigma} = \underline{\underline{A}}^T ( \underline{\underline{A}} \ \underline{x} ) [/math]

[math] \underline{\hat{x}} = (\underline{\underline{A}}^T \ \underline{\underline{A}})^{-1} \ \underline{\underline{A}}^T \ \underline{b} [/math]

[math] \underline{\hat{x}} [/math] a megoldás legjobb közelítése (optimális megoldás, LS becslő).

Mi az SVD felbontás és mire használható? Mit értünk szinguláris érték és vektor alatt?

Az SVD (szinguláris érték) felbontás bázistranszformáció, arra használjuk, hogy a mátrixainkat olyan ortonormált bázisban írhassuk fel, ahol diagonálisak. A diagonális mátrixokat azért szeretjük, mert irányfüggő erősítéseket jellemeznek (legnagyobb, legkisebb -> rendszerek stabilitása).

[math]A=U \Sigma V^T[/math],

ahol [math]U \in \mathbb{R}^{m \times m}; \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}; V \in \mathbb{R}^{n \times n}[/math].

U és V bázistranszformációs mátrixok, ortogonálisak (ezért ortonormált bázisokra visznek).

[math]\Sigma[/math] a szinguláris értékekből ([math]\sigma_1, \sigma_2 ... \sigma_m[/math]) képzett diagonális mátrix. Konvencionálisan a szinguláris értékek csökkenő sorrendben szerepelnek.

[TODO: érték? vektor?]

Adja meg a lehetséges geometriai transzformációk típusait, és a mátrixaik általános alakját! Milyen tulajdonságokat őriznek meg az egyes típusok?

Projektív transzformáció

[math]T_{proj} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33}\end{bmatrix}[/math]

Affin transzformáció

Megőrzi az ideális pontokat.

[math]T_{aff} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}[/math]

Hasonlósági transzformáció

• Nincs irányfüggő skálázás
• Nincs nyírás

[math]T_{simi} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}[/math]

Euklideszi transzformáció

Nincs skálázás

[math]T_{eucl} = \begin{bmatrix}cos(\alpha) & -sin(\alpha) & t_{13} \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & t_{23} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/math]

Transzformációk és megőrzött tulajdonságok

Geometriák:	Euklideszi	Hasonlósági	Affin	Projektív
Transzformációk
Eltolás	I	I	I	I
Forgatás	I	I	I	I
Uniform skálázás	X	I	I	I
Nem uniform skálázás	X	X	I	I
Nyírás	X	X	I	I
Perspektív vetítés	X	X	X	I
Invariáns jellemzők
Hossz	I	X	X	X
Szög	I	I	X	X
Hosszak aránya	I	I	X	X
Párhuzamosság	I	I	I	X
Egybeesés	I	I	I	I
Keresztarány	I	I	I	I

Mik a homogén koordináták és mi a használatuk előnye? Mi az az ideális pont?

Pontok leírása a projektív síkon

Euklideszi koordináták → Projektív: [math](x, y) \rightarrow (x, y, 1)[/math]

Tulajdonságok:

[math]( X ,Y ,W ) = (kX , kY , kW )[/math]

[math]k \neq 0 \rightarrow \not\exists (0,0,0)[/math]

Az egy síkbeli ponthoz tartozó számhármasok egy egyenest alkotnak [math]\mathbb{R}^3[/math]-ban. A homogén koordináták skála invariánsak.

Ideális pont

Homogén koordináták → Euklideszi: [math](X, Y, W) \rightarrow (X/W, Y/W)[/math]

Az ideális pont [math](X, Y, 0)[/math] alakú. Vegyük észre az előző képlet nullosztóját.

Az ideális pont egyfajta irányított végtelen, melynek minden koordinátája véges.

Adja meg a projektív térből a projektív síkra történő vetítés egyenletét! Mi az eltűnő pont?

Vetítés a projektív térből a projektív síkra: [math]P_3 \rightarrow P_2[/math]

Egyenlet

[math]\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ W\end{bmatrix}[/math]

Eltűnő pont

Párhuzamos [math]P_3[/math]-beli egyenesek metszéspontja, az adott irányban lévő ideális pont.

[math]\begin{bmatrix}x \\ y \\ w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} & t_{24} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} & t_{34}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\ 0\end{bmatrix}[/math]

A [math]P_3[/math]-beli ideális pont képe [math]P_2[/math]-ben nem biztos, hogy ideális pont lesz!

• Csak, ha (X,Y,Z) merőleges [math](t_{31}, t_{32}, t_{33})[/math]-ra
• Ha az egyenesek párhuzamosak a képsíkkal!