Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

-- Andris - 2007.12.05.

2. ZH

1. Pótzh2, 2003 12 03

Vill. B4, Vetier András kurzusa

• 1. Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

• 2. Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

• 3. Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

2. ZH4 2005 11 30

• 1. Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

• 2. Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

• 3. Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

2. ZH - megoldások

1. Pótzh2, 2003 12 03

1.

[math] X: [/math] élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

[math] f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]

[math] F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]

[math] P(x\geq2)=0.2 [/math]

[math] e^{-\lambda 2}=0.2 [/math]

[math] -\lambda 2=ln 0.2 [/math]

[math] \[ \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 \] [/math]

[math] \[ m=\frac{1}{\lambda} \] [/math]

[math] 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} [/math]

[math] e^{-0.8x}= \frac{1}{2} [/math]

[math] -0.8x=ln\frac{1}{2} [/math]

[math] \[ x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 \] [/math]

---

2.

[math] \varphi[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [/math]

[math] \[ X=\sin\varphi \] [/math]

[math] F(x)=p(X\lt x) [/math]

[math] \[ P(\sin\varphi\lt x)=P(\varphi\lt \arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \] [/math]

[math] \[ f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} \] [/math]

---

3.

a.)

"Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót." VA

[math] X: RND1^2 [/math]

[math] Y: RND2^3 [/math]

[math] \[ f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 \] [/math]

[math] \[ f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 \] [/math]

[math] \[ f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 \] [/math]

[math] \[ P(X\gt Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x \] [/math]

a.) vagy egyszerűbben

[math] \[ P(RND1^2\gt RND2^3)=P(RND1\gt RND2^{\frac{3}{2}})= \] [/math]

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

[math] \[ y^{\frac{3}{2}} =x \] [/math]

vagyis a

[math] \[ y=x^{\frac{2}{3}} \] [/math]

görbe alatti terület számítására.

[math] \[ =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} \] [/math]

b.)

[math] X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1) [/math]

[math] Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]

[math] \[ Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1)\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) \] [/math]

[math] \[ P(X^2\gt Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}\gt Y)= \] [/math]

[math] \[ =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \] [/math]

[math] \[ =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x \] [/math]

---

2. ZH4 2005 11 30

1.

[math] X: RND1 [/math]

[math] Y: RND2 [/math]

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

• Két eset lehetséges

[math] X\lt Y-X\lt 1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y\gt X [/math]

[math] Y\lt X-Y\lt 1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X\gt Y [/math]

• Az első eset - [math] Y\gt X [/math]

[math] P[(X\lt Y-X)\cap(Y-X\lt 1-Y)]=P[(Y\gt 2X)\cap(Y\lt \frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) [/math]

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).

• Második eset - [math] X\gt Y [/math]

A szimmetria miatt az első esetben számított terület [math] x=y [/math] tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: [math] P(...)=2*ter(A) [/math]

---

2.

[math] X: \sqrt[3]{RND} [/math]

[math] P(A\lt \sqrt[3]{RND}\lt B)=P(A^3\lt RND\lt B^3)=B^3-A^3=\int_{A}^B 3x^2 \mathrm{d}x [/math]

[math] f(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

[math] F(x)=\int_{0}^x 3x^2 \mathrm{d}x=[x^3]_{0}^x\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

• Várható érték = első momentum

[math] E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} [/math]

---

Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

[math] F(x)=P(X\lt x)=P(\sqrt[3]{RND}\lt x)=P(RND\lt x^3)=x^3\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

[math] f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

---

3.

[math] X= [/math] ahány balkezes

Binomiális eloszlás

[math] p=0,4 [/math]

[math] n=2400 [/math]

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

[math] m=p*n=960 [/math]

[math] \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=24 [/math]

[math] P(0.39\lt \frac{x}{2400}\lt 0.41)=P(936\lt x\lt 984)= [/math]

[math] = P(\frac{936-960}{24}\lt \frac{x-960}{24}\lt \frac{984-960}{24})= [/math]

[math] = \phi(1)-\phi(-1)=68 \% [/math]