Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07

A VIK Wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen David14 (vitalap | szerkesztései) 2014. január 17., 22:10-kor történt szerkesztése után volt. (David14 átnevezte a(z) Matematika A1 - 2007 tavasz, 3. vizsga lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07)
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Feladatok:

1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

2. Oldja meg a [math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math] egyenletet.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) [math]a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}[/math] (b) [math] \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}[/math]

4. Legyen [math] f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0[/math] és [math]0, x=0[/math]. (a) Hol folytonos és hol deriválható f? (b) Hol folytonos f'?

5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

(a) Ha [math]a,b \neq 0[/math] és [math]ab = ac[/math], akkor [math]b = c[/math]

(b) Ha [math]lima_n = limb_n = 0[/math] akkor [math]lim \frac{a_n}{b_n} = 1[/math]

(c) Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n.

(d) Ha f szigorúan monoton nő [math]\mathbb{R}[/math]-en, akkor [math]lim_\infty f = \infty[/math]

6. Számítsa ki a következő integrálokat:[math] (a) \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx[/math]

Megoldások:

2. Oldja meg a [math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math] egyenletet.

[math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math]

Átírjuk másik alakba:

[math](a+bj)^2[/math]=[math](a-bj)^2[/math]

[math]a^2[/math]+[math]2abj[/math]+[math]b^2[/math][math]i^2[/math]=[math]a^2[/math][math]-2abj[/math]+[math]b^2[/math][math]i^2[/math]

"hosszas" rendezés után:

abj=0

Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.

Tehát:

a=0 és "b" [math]\in[/math] R vagy b=0 és "a" [math]\in[/math] R vagy a és b is 0


(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki) (*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)

-- GAbika -- 2009.01.15.

Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:

[math] z^2 = \overline{z}^2 [/math]

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

[math] (a+bi)^2 = (a-bi)^2 [/math]

Zárójelek felbontása után:

[math] a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 [/math]

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

[math] ab = -ab [/math]

Ez akkor lehetséges, ha [math] a = 0 \vee b = 0 [/math], az összes ilyen alakú szám megoldás.

-- MP - 2012.01.09.

3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) [math]a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}[/math] (b) [math] \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}[/math]

(a)

Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:

[math](\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.[/math] A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: [math](1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} [/math]

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

[math]\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} [/math] Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: [math]\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}[/math]

-- Gyurci - 2008.01.14.

(b)

Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet [math]n^2[/math]-el: [math] \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow \underline{2} [/math] Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: [math] \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} [/math]

-- OverLord - 2008.01.14.

Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes [math] (1+\frac{a}{n})^n = e^a [/math] határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.

Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:

[math] \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} [/math]

Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint [math] \sqrt[n]{2} [/math], ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél [math] \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} [/math], ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^


-- MP - 2012.01.09.

6.

(a) [math]\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx [/math]

Parciális törtekre bontjuk az integrandust: [math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}[/math]

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}[/math]

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}[/math]

[math] 1 = (A+B)x^2 + Cx + A[/math]

[math] A=1[/math]

[math] (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 [/math]

[math] C=0[/math]

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}[/math] Így már könnyű integrálni: [math] \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C [/math]

-- OverLord - 2008.01.14.

(b) [math] \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx [/math]

[math] \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} [/math] Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

[math] \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}[/math]

-- OverLord - 2008.01.14.

A lap eredeti címe: „https://wiki.sch.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.06.07&oldid=175534”