„Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a (David14 átnevezte a(z) Matematika A1 - 2007 tavasz, 3. vizsga lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07)
a
 
(5 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
−
==Feladatok:==
+
__NOTOC__
−
===1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.===
+
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
−
===2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.===
 
−
===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>===
 
−
===4. Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>. (a) Hol folytonos és hol deriválható f? (b) Hol folytonos f'?===
 
−
===5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!===
 
−
==== (a) Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>====
 
−
==== (b) Ha <math>lima_n = limb_n = 0</math> akkor <math>lim \frac{a_n}{b_n} = 1</math>====
 
−
==== (c) Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n.====
 
−
==== (d) Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>lim_\infty f = \infty</math>====
 
−
===6. Számítsa ki a következő integrálokat:<math> (a) \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx (b) \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>===
 
  
−
==Megoldások:==
+
===1. Feladat===
  
−
===2. Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.===
+
Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.
  
−
<math>z^2 = \overline{z}^ 2</math>
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
Átírjuk másik alakba:
+
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
  
−
<math>(a+bj)^2</math>=<math>(a-bj)^2</math>
+
Ha tudod, írd le ide ;)
  
−
<math>a^2</math>+<math>2abj</math>+<math>b^2</math><math>i^2</math>=<math>a^2</math><math>-2abj</math>+<math>b^2</math><math>i^2</math>
+
}}
  
−
"hosszas" rendezés után:
+
===2. Feladat===
  
−
abj=0
+
Oldja meg a <math>z^2 = \overline{z}^ 2</math> egyenletet.
  
−
Egy szorzat eredménye akkor és csak akkor zérus, ha valamely tagja a szoraztnak 0.
+
{{Rejtett
−
 
+
|mutatott='''Megoldás'''
−
Tehát:
+
|szöveg=
−
 
 
−
a=0 és "b" <math>\in</math> R
 
−
vagy
 
−
b=0 és "a" <math>\in</math> R
 
−
vagy
 
−
a és b is 0
 
−
 
 
−
 
 
−
(A tördelés kicsit csúnya, sajnos nem értek ehhez, kérlek ha nem fáradtság javítsd ki)
 
−
(*A megoldásomban nem vagyok biztos, senki sem ellenőrizte. Ha ellenőrizted, kérlek töröld ezt a sort.*)
 
−
 
 
−
-- [[GAbika]] -- 2009.01.15.
 
−
 
 
−
Nekem az előző megoldás nem jelent meg érthetően, itt az enyém:
 
  
 
<math> z^2 = \overline{z}^2 </math>
 
<math> z^2 = \overline{z}^2 </math>
59. sor: 38. sor:
 
<math> ab = -ab </math>
 
<math> ab = -ab </math>
  
−
Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.
+
Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math> és <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, az összes ilyen alakú szám megoldás.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
===3. Feladat===
 +
 
 +
Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:
 +
 
 +
<math>a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
 +
 
 +
<math>b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>
 +
 
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
 
  
−
===3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét: (a) <math>a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}</math> (b) <math> \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}</math>===
+
'''a, Feladat:'''
  
  
−
====(a)====
+
<math> a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
−
Először alkalmazzuk az [[OverLord|OverLord]] féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:
+
\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
 +
\left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
 +
\left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}</math>
  
−
<math>(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.</math>
 
 
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
 
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz:
−
<math>(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} </math>
+
<math>\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} </math>
  
 
Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
 
Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
  
−
<math>\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} </math>
+
<math>\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} </math>
 +
 
 
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
 
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
 +
 
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>
 
<math>\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}</math>
  
−
-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.
 
  
−
====(b) ====
+
'''b, Feladat:'''
−
Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet:
+
 
−
Egyszerűsítsük a törtet <math>n^2</math>-el:
+
 
−
<math> \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow  \underline{2} </math>
+
A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:
−
Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk:
+
 
−
<math> \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} </math>
+
<math> b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>
 +
 
 +
Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:
 +
 
 +
Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.
 +
 
 +
Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.
 +
 
 +
<math>2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} < 2-\frac{5}{n^2+2} < 2</math>
 +
 
 +
Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.
 +
 
 +
<math>\sqrt[n]{\frac{1}{3}} <\sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }<\sqrt[n]{ 2}</math>
 +
 
 +
 
 +
Tudjuk, hogy:
 +
 
 +
<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1</math>
 +
 
 +
<math>\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1</math>
 +
 +
 
 +
Így a rendőrelv miatt:
 +
 
 +
<math>\lim_{n\to\infty} {b_n}=1</math>
 +
 
 +
}}
  
−
-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
+
===4. Feladat===
  
−
Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. '''Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ!''' Tekintsük a nevezetes <math> (1+\frac{a}{n})^n = e^a </math> határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.
+
Legyen <math> f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0</math> és <math>0, x=0</math>.
  
−
Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:
+
a, Hol folytonos és hol deriválható <math>f(x)</math>?
  
−
<math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} </math>
+
b, Hol folytonos <math>f'(x)</math>?
  
−
Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint <math> \sqrt[n]{2} </math>, ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél <math> \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} </math>, ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
 +
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
  
 +
Ha tudod, írd le ide ;)
 +
 +
}}
 +
 +
===5. Feladat===
 +
 +
Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!
 +
 +
a, Ha <math>a,b \neq 0</math> és <math>ab = ac</math>, akkor <math>b = c</math>
 +
 +
b, Ha <math>\lim {a_n} = \lim{b_n} = 0</math> akkor <math>\lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1</math>
 +
 +
c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n
 +
 +
d, Ha f szigorúan monoton nő <math>\mathbb{R}</math>-en, akkor <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty</math>
 +
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
 +
 +
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
 +
 +
Ha tudod, írd le ide ;)
 +
 +
}}
 +
 +
===6. Feladat===
 +
 +
Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:
 +
 +
<math>a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>
 +
 +
<math>b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx</math>
 +
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
 +
 +
 +
'''a, Feladat:'''
  
−
-- [[mp9k1|MP]] - 2012.01.09.
 
  
−
===6.===
 
−
====(a) <math>\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx </math>====
 
 
Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
 
Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
 +
 
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>
 
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}</math>
  
110. sor: 171. sor:
  
 
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>
 
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}</math>
 +
  
 
<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>
 
<math> 1 = (A+B)x^2 + Cx + A</math>
 +
 +
 +
Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:
  
 
<math> A=1</math>
 
<math> A=1</math>
118. sor: 183. sor:
  
 
<math> C=0</math>
 
<math> C=0</math>
 +
 +
 +
Tehát:
  
 
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>
 
<math> \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}</math>
 +
 +
 
Így már könnyű integrálni:
 
Így már könnyű integrálni:
 +
 
<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C </math>
 
<math> \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C </math>
  
−
-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
 
  
−
====(b) <math> \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx </math>====
+
'''b, Feladat:'''
 +
 
 +
 
 
<math>  \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>
 
<math>  \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} </math>
 +
 
Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)
 
Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)
  
 
<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx =  \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}</math>
 
<math> \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx =  \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}</math>
  
−
-- [[OverLord|OverLord]] - 2008.01.14.
+
}}
−
 
 
  
−
[[Category:Villanyalap]]
+
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 17:49-kori változata

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

2. Feladat

Oldja meg a [math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math] egyenletet.

Megoldás

[math] z^2 = \overline{z}^2 [/math]

Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:

[math] (a+bi)^2 = (a-bi)^2 [/math]

Zárójelek felbontása után:

[math] a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 [/math]

Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:

[math] ab = -ab [/math]

Ez akkor lehetséges, ha [math] a = 0 \vee b = 0 [/math] és [math]a,b \in \mathbb{R}[/math], az összes ilyen alakú szám megoldás.

3. Feladat

Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:

[math]a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}[/math]

[math]b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}[/math]

Megoldás

a, Feladat:


[math] a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}= \left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}[/math]

A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: [math]\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} [/math]

Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!

[math]\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} [/math]

Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:

[math]\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}[/math]


b, Feladat:


A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:

[math] b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} [/math]

Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:

Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.

Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.

[math]2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \lt 2-\frac{5}{n^2+2} \lt 2[/math]

Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.

[math]\sqrt[n]{\frac{1}{3}} \lt \sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }\lt \sqrt[n]{ 2}[/math]


Tudjuk, hogy:

[math]\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1[/math]

[math]\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1[/math]


Így a rendőrelv miatt:

[math]\lim_{n\to\infty} {b_n}=1[/math]

4. Feladat

Legyen [math] f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0[/math] és [math]0, x=0[/math].

a, Hol folytonos és hol deriválható [math]f(x)[/math]?

b, Hol folytonos [math]f'(x)[/math]?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Feladat

Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!

a, Ha [math]a,b \neq 0[/math] és [math]ab = ac[/math], akkor [math]b = c[/math]

b, Ha [math]\lim {a_n} = \lim{b_n} = 0[/math] akkor [math]\lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1[/math]

c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n

d, Ha f szigorúan monoton nő [math]\mathbb{R}[/math]-en, akkor [math]\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty[/math]

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:

[math]a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx [/math]

[math]b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx[/math]

Megoldás

a, Feladat:


Parciális törtekre bontjuk az integrandust:

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}[/math]

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}[/math]

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}[/math]


[math] 1 = (A+B)x^2 + Cx + A[/math]


Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:

[math] A=1[/math]

[math] (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 [/math]

[math] C=0[/math]


Tehát:

[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}[/math]


Így már könnyű integrálni:

[math] \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C [/math]


b, Feladat:


[math] \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} [/math]

Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)

[math] \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}[/math]
A lap eredeti címe: „https://wiki.sch.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.06.07&oldid=179582”