„Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07” változatai közötti eltérés
a |
|||
| 19. sor: | 19. sor: | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<math> z^2 = \overline{z}^2 </math> | <math> z^2 = \overline{z}^2 </math> | ||
| 64. sor: | 34. sor: | ||
<math> ab = -ab </math> | <math> ab = -ab </math> | ||
| − | Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math>, az összes ilyen alakú szám megoldás. | + | Ez akkor lehetséges, ha <math> a = 0 \vee b = 0 </math> és <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, az összes ilyen alakú szám megoldás. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
}} | }} | ||
A lap 2014. január 17., 22:26-kori változata
Tartalomjegyzék
- 1 1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.
- 2 2. Oldja meg a [math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math] egyenletet.
- 3 3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:
- 4 4. Legyen [math] f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0[/math] és [math]0, x=0[/math].
- 5 5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!
- 6 6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:
1. Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)2. Oldja meg a [math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math] egyenletet.
[math] z^2 = \overline{z}^2 [/math]
Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:
[math] (a+bi)^2 = (a-bi)^2 [/math]
Zárójelek felbontása után:
[math] a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 [/math]
Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:
[math] ab = -ab [/math]
Ez akkor lehetséges, ha [math] a = 0 \vee b = 0 [/math] és [math]a,b \in \mathbb{R}[/math], az összes ilyen alakú szám megoldás.3. Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:
[math]a, \; a_n = (\frac{n^2-1}{n^2+2})^{3n^2}[/math]
[math]b, \; \sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}[/math]
(a)
Először alkalmazzuk az OverLord féle algebrai trükköt, és a számlálót átalakítjuk:
[math](\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2})^{3n^2} = (\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2})^{3n^2} = (1-\frac{3}{n^2+2})^{3n^2}.[/math] A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: [math](1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2} [/math]
Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
[math]\frac{(1-\frac{9}{3n^2+6})^{3n^2+6}}{(1-\frac{9}{3n^2+6})^6} [/math] Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték: [math]\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}[/math]
-- Gyurci - 2008.01.14.
(b)
Először vizsgáljuk meg az n-edik gyökjelen belüli törtet: Egyszerűsítsük a törtet [math]n^2[/math]-el: [math] \frac{2n^2-1}{n^2+2} = \frac{2-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \rightarrow \underline{2} [/math] Azaz a gyökjelen belüli rész 2-höz tart végtelennél. Így pedig már egy nevezetes határértéket kapunk: [math] \sqrt[n]{2} \rightarrow \underline{\underline{1}} [/math]
-- OverLord - 2008.01.14.
Troll vagyok, de ez a megoldás hibás. Nem szabad gyökjel alatt vizsgálni, ha a "gyök" művelet n-től függ! Tekintsük a nevezetes [math] (1+\frac{a}{n})^n = e^a [/math] határértéket: Ha belül vizsgálom, a tört kinullázódik, 1 hatványa 1. Ott a hiba.
Rendőrelvvel (alias csendőrelv, közrefogási elv) oldjuk meg. Azt tudjuk, hogy az n. gyök szig. mon. növekvő függvény, tehát kisebb szám n. gyöke kisebb mint egy nagyobb számé. A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást, átrendezhető:
[math] \sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} [/math]
Látjuk, hogy mindegyik elem kisebb lesz, mint [math] \sqrt[n]{2} [/math], ez remek felső becslés, mert 1-hez tart. Az alsó becslés valamivel nehezebb. Az első elemnél [math] \sqrt[n]{2-\frac{5}{3}} [/math], ezzel a konstans értékkel alulról becsülhető, mármint a gyökön belüli rész, és így ezzel a függvénnyel alulról becsülhető a sorozatunk. Ennek is 1 a határértéke, sikeresen közrefogtuk. ^^
4. Legyen [math] f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0[/math] és [math]0, x=0[/math].
a, Hol folytonos és hol deriválható [math]f(x)[/math]?
b, Hol folytonos [math]f'(x)[/math]?
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)5. Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!
a, Ha [math]a,b \neq 0[/math] és [math]ab = ac[/math], akkor [math]b = c[/math]
b, Ha [math]\lim {a_n} = \lim{b_n} = 0[/math] akkor [math]\lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1[/math]
c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n
d, Ha f szigorúan monoton nő [math]\mathbb{R}[/math]-en, akkor [math]\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty[/math]
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)6. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:
[math]a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx [/math]
[math]b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx[/math]
(a) [math]\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx [/math]
Parciális törtekre bontjuk az integrandust: [math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}[/math]
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}[/math]
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}[/math]
[math] 1 = (A+B)x^2 + Cx + A[/math]
[math] A=1[/math]
[math] (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 [/math]
[math] C=0[/math]
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}[/math] Így már könnyű integrálni: [math] \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C [/math]
-- OverLord - 2008.01.14.
(b) [math] \int{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}}\;dx [/math]
[math] \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} [/math] Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)
[math] \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}[/math]
-- OverLord - 2008.01.14.
