Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09
Tartalomjegyzék
- 1 Feladatok:
- 1.1 1. Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!
- 1.2 2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
- 1.3 3. Adott a következő függvény:
- 1.4 4. Legyen [math] n\geq1 [/math] tetszőleges egész és [math]f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}[/math] ha [math]x\neq0[/math] és [math]f(0)=0[/math]. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?
- 1.5 5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az [math] f(x)=x^5-80x [/math] függvény kölcsönösen egyértelmű!
- 1.6 6.
- 2 Megoldások:
Feladatok:
1. Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!
2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
(a) Ha [math](a_n)[/math] konvergens [math](a_n^n)[/math] is konvergens
(b) Ha [math](a_n^n)[/math] konvergens [math](a_n)[/math] is konvergens
(c) Ha [math]a_n\to1[/math] akkor [math]a_n^n\to1[/math]
(d) Ha [math]a_n^n\to1[/math] akkor [math]a_n\to1[/math]
3. Adott a következő függvény:
[math] f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} [/math]
[math] a.)\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? [/math]
[math] b.)\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? [/math]
4. Legyen [math] n\geq1 [/math] tetszőleges egész és [math]f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}[/math] ha [math]x\neq0[/math] és [math]f(0)=0[/math]. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?
5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az [math] f(x)=x^5-80x [/math] függvény kölcsönösen egyértelmű!
6.
[math]{a.)}\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?[/math]
[math]{b.)}\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?[/math]
Megoldások:
1. Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!
Vegyük a két sík normálvektorát: [math]\vec n_1(1,2,3)[/math] és [math]\vec n_2(3,4,5)[/math]. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:
[math]\left[ \begin{array}{ccc} i & j & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec v(-1,2,-1)[/math]
Az egyenes egyenlete: [math]P + t\cdot\vec v[/math], egyenletrendszerben:
[math]\begin{array}{rcl} x&=&1-t\\ y&=&2+2t\\ z&=&3-t \end{array}\iff -(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)[/math]
2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
(a) Ha [math](a_n)[/math] konvergens [math](a_n^n)[/math] is konvergens
(b) Ha [math](a_n^n)[/math] konvergens [math](a_n)[/math] is konvergens
(c) Ha [math]a_n\to1[/math] akkor [math]a_n^n\to1[/math]
(d) Ha [math]a_n^n\to1[/math] akkor [math]a_n\to1[/math]
Megoldás:
(a) Nem igaz, pl. ha [math](a_n)\equiv 2[/math], akkor [math](a_n^n)\to\infty[/math], divergál a végtelenbe. ([math]a_n\to A[/math], [math]|A|\lt 0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R[/math], de egyes esetekben [math]|A|=1[/math]-re is lehet.)
(b) Nem igaz, pl.: [math]\begin{array}{rcll} a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\ a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1 \end{array}[/math]
(c) Nem igaz, pl.: [math]\begin{array}{ll} \left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\ \left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e \end{array}[/math]
(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.
-- Gabesz - 2007.01.09.
-- Thanx to Tóth Gábor
-- Andris - 2007.01.10.
