Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09
Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.
Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.
Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót
Tartalomjegyzék
- 1 1. Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!
- 2 2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
- 3 3. Adott a következő függvény:
- 4 4. Legyen [math] n\geq1 [/math] tetszőleges egész és [math]f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}[/math] ha [math]x\neq0[/math] és [math]f(0)=0[/math]. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?
- 5 5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az [math] f(x)=x^5-80x [/math] függvény kölcsönösen egyértelmű!
- 6 6.
- 7 Megoldások
1. Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!
2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
(a) Ha [math](a_n)[/math] konvergens [math](a_n^n)[/math] is konvergens
(b) Ha [math](a_n^n)[/math] konvergens [math](a_n)[/math] is konvergens
(c) Ha [math]a_n\to1[/math] akkor [math]a_n^n\to1[/math]
(d) Ha [math]a_n^n\to1[/math] akkor [math]a_n\to1[/math]
3. Adott a következő függvény:
[math] f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} [/math]
[math] a.)\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? [/math]
[math] b.)\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? [/math]
4. Legyen [math] n\geq1 [/math] tetszőleges egész és [math]f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}[/math] ha [math]x\neq0[/math] és [math]f(0)=0[/math]. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?
5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az [math] f(x)=x^5-80x [/math] függvény kölcsönösen egyértelmű!
6.
[math]{a.)}\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?[/math]
[math]{b.)}\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?[/math]
Megoldások
1. Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!
Megoldás
Vegyük a két sík normálvektorát: [math]\vec n_1(1,2,3)[/math] és [math]\vec n_2(3,4,5)[/math]. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:
[math]\left[ \begin{array}{ccc} i & j & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec v(-1,2,-1)[/math]
Az egyenes egyenlete: [math]P + t\cdot\vec v[/math], egyenletrendszerben:
[math]\begin{array}{rcl} x&=&1-t\\ y&=&2+2t\\ z&=&3-t \end{array}\iff -(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)[/math]
2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
-======(a) Ha [math](a_n)[/math] konvergens [math](a_n^n)[/math] is konvergens======
-======(b) Ha [math](a_n^n)[/math] konvergens [math](a_n)[/math] is konvergens======
-======(c) Ha [math]a_n\to1[/math] akkor [math]a_n^n\to1[/math]======
-======(d) Ha [math]a_n^n\to1[/math] akkor [math]a_n\to1[/math]======
Megoldás
(a) Nem igaz, pl. ha [math](a_n)\equiv 2[/math], akkor [math](a_n^n)\to\infty[/math], divergál a végtelenbe. ([math]a_n\to A[/math], [math]|A|\lt 0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R[/math], de egyes esetekben [math]|A|=1[/math]-re is lehet.)
(b) Nem igaz, pl.: [math]\begin{array}{rcll} a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\ a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1 \end{array}[/math]
(c) Nem igaz, pl.: [math]\begin{array}{ll} \left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\ \left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e \end{array}[/math]
(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.
-- Gabesz - 2007.01.09.
-- Thanx to Tóth Gábor
-- Andris - 2007.01.10.
