„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a (David14 átnevezte a(z) Matekvizsga vill.BSc 2007.01.09. lapot a következő névre: Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.09)
a
 
(4 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
−
{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaKetto}}
+
__NOTOC__
  
 +
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
  
  
 +
===1. Feladat===
  
−
=====1. Írja fel az <math>x+2y+3z=4</math> és a <math>3x+4y+5z</math> síkokkal párhuzamos, a <math>P = (1,2,3)</math> ponton átmenő egyenes egyenletét!=====
+
Írja fel az <math>x+2y+3z=4</math> és a <math>3x+4y+5z</math> síkokkal párhuzamos, a <math>P = (1,2,3)</math> ponton átmenő egyenes egyenletét!
  
−
=====2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?=====
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
(a) Ha <math>(a_n)</math> konvergens <math>(a_n^n)</math> is konvergens
+
Vegyük a két sík normálvektorát: <math>\vec n_1(1,2,3)</math> és <math>\vec n_2(3,4,5)</math>. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:
  
−
(b) Ha <math>(a_n^n)</math> konvergens <math>(a_n)</math> is konvergens
+
<math>\left[ \begin{array}{ccc} i & j  & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec  v(-1,2,-1)</math>
  
−
(c) Ha <math>a_n\to1</math> akkor <math>a_n^n\to1</math>
+
Az egyenes egyenlete: <math>P + t\cdot\vec v</math>, egyenletrendszerben:
  
−
(d) Ha <math>a_n^n\to1</math> akkor <math>a_n\to1</math>
+
<math>\begin{array}{rcl}
 +
x&=&1-t\\
 +
y&=&2+2t\\
 +
z&=&3-t
 +
\end{array}\iff
 +
-(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)</math>
  
−
=====3. Adott a következő függvény:=====
+
}}
  
−
<math> f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} </math>
+
===2. Feladat===
 +
 
 +
Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?
 +
 
 +
a, Ha <math>(a_n)</math> konvergens <math>(a_n^n)</math> is konvergens
 +
 
 +
b, Ha <math>(a_n^n)</math> konvergens <math>(a_n)</math> is konvergens
 +
 
 +
c, Ha <math>a_n\to1</math> akkor <math>a_n^n\to1</math>
 +
 
 +
d, Ha <math>a_n^n\to1</math> akkor <math>a_n\to1</math>
 +
 
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
  
 +
a, Nem igaz, pl. ha <math>(a_n)\equiv 2</math>, akkor <math>(a_n^n)\to\infty</math>, divergál a végtelenbe. (<math>a_n\to A</math>, <math>|A|<0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R</math>, de egyes esetekben <math>|A|=1</math>-re is lehet.)
  
−
<math> a.)\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? </math>
+
b, Nem igaz, pl.:
 +
<math>\begin{array}{rcll}
 +
a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\
 +
a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1
 +
\end{array}</math>
  
−
<math> b.)\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? </math>
+
c, Nem igaz, pl.:
 +
<math>\begin{array}{ll}
 +
\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\
 +
\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e
 +
\end{array}</math>
  
−
=====4. Legyen <math> n\geq1 </math> tetszőleges egész és <math>f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}</math> ha <math>x\neq0</math> és <math>f(0)=0</math>. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?=====
+
d, Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.
  
−
=====5. Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az <math> f(x)=x^5-80x </math> függvény kölcsönösen egyértelmű!=====
+
}}
  
−
=====6.=====
+
===3. Feladat===
  
−
<math>{a.)}\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
+
Adott a következő függvény:
  
−
<math>{b.)}\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
+
<math> f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} </math>
  
 +
<math> a,\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? </math>
  
−
===Megoldások===
+
<math> b,\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? </math>
  
−
=====1. Írja fel az <math>x+2y+3z=4</math> és a <math>3x+4y+5z</math> síkokkal párhuzamos, a <math>P = (1,2,3)</math> ponton átmenő egyenes egyenletét!=====
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
=====Megoldás=====
+
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
  
−
Vegyük a két sík normálvektorát: <math>\vec n_1(1,2,3)</math> és <math>\vec n_2(3,4,5)</math>. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:
+
Ha tudod, írd le ide ;)
  
−
<math>\left[ \begin{array}{ccc} i & j  & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec  v(-1,2,-1)</math>
+
}}
  
−
Az egyenes egyenlete: <math>P + t\cdot\vec v</math>, egyenletrendszerben:
+
===4. Feladat===
  
−
<math>\begin{array}{rcl}
+
Legyen <math> n\geq1 </math> tetszőleges egész és <math>f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}</math> ha <math>x\neq0</math> és <math>f(0)=0</math>. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?
−
x&=&1-t\\
 
−
y&=&2+2t\\
 
−
z&=&3-t
 
−
\end{array}\iff
 
−
-(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)</math>
 
  
−
=====2. Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?=====
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
-======(a) Ha <math>(a_n)</math> konvergens <math>(a_n^n)</math> is konvergens======
+
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
  
−
-======(b) Ha <math>(a_n^n)</math> konvergens <math>(a_n)</math> is konvergens======
+
Ha tudod, írd le ide ;)
  
−
-======(c) Ha <math>a_n\to1</math> akkor <math>a_n^n\to1</math>======
+
}}
  
−
-======(d) Ha <math>a_n^n\to1</math> akkor <math>a_n\to1</math>======
+
===5. Feladat===
  
 +
Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az <math> f(x)=x^5-80x </math> függvény kölcsönösen egyértelmű!
  
−
=====Megoldás=====
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
(a) Nem igaz, pl. ha <math>(a_n)\equiv 2</math>, akkor <math>(a_n^n)\to\infty</math>, divergál a végtelenbe. (<math>a_n\to A</math>, <math>|A|<0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R</math>, de egyes esetekben <math>|A|=1</math>-re is lehet.)
+
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
  
−
(b) Nem igaz, pl.:
+
Ha tudod, írd le ide ;)
−
<math>\begin{array}{rcll}
 
−
a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\
 
−
a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1
 
−
\end{array}</math>
 
  
−
(c) Nem igaz, pl.:
+
}}
−
<math>\begin{array}{ll}
 
−
\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\
 
−
\left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e
 
−
\end{array}</math>
 
  
−
(d) Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.
+
===6. Feladat===
  
 +
Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!
  
 +
<math>a,\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
  
 +
<math>b,\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?</math>
  
−
-- [[ImreGabor|Gabesz]] - 2007.01.09.
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
-- Thanx to Tóth Gábor
+
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
  
−
-- [[SzaboAndras2006|Andris]] - 2007.01.10.
+
Ha tudod, írd le ide ;)
  
 +
}}
  
−
[[Category:Villanyalap]]
+
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 17:48-kori változata


← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis


1. Feladat

Írja fel az [math]x+2y+3z=4[/math] és a [math]3x+4y+5z[/math] síkokkal párhuzamos, a [math]P = (1,2,3)[/math] ponton átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás

Vegyük a két sík normálvektorát: [math]\vec n_1(1,2,3)[/math] és [math]\vec n_2(3,4,5)[/math]. Az egyenes merőleges kell, hogy legyen mindkét normálvektorra, ezt vektoriális szorzással kapjuk meg:

[math]\left[ \begin{array}{ccc} i & j & k\\1 & 2 & 3\\3 & 4 & 5\end{array} \right] = (10-12)i-(5-9)j+(4-6)k=(-2,4,-2)=\vec v(-1,2,-1)[/math]

Az egyenes egyenlete: [math]P + t\cdot\vec v[/math], egyenletrendszerben:

[math]\begin{array}{rcl} x&=&1-t\\ y&=&2+2t\\ z&=&3-t \end{array}\iff -(x-1)=\frac{y-2}2=-(z-3)[/math]

2. Feladat

Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik nem?

a, Ha [math](a_n)[/math] konvergens [math](a_n^n)[/math] is konvergens

b, Ha [math](a_n^n)[/math] konvergens [math](a_n)[/math] is konvergens

c, Ha [math]a_n\to1[/math] akkor [math]a_n^n\to1[/math]

d, Ha [math]a_n^n\to1[/math] akkor [math]a_n\to1[/math]

Megoldás

a, Nem igaz, pl. ha [math](a_n)\equiv 2[/math], akkor [math](a_n^n)\to\infty[/math], divergál a végtelenbe. ([math]a_n\to A[/math], [math]|A|\lt 0 \Rightarrow a_n^n\to B\in\mathbf R[/math], de egyes esetekben [math]|A|=1[/math]-re is lehet.)

b, Nem igaz, pl.: [math]\begin{array}{rcll} a_n&:=&1,-1,1,-1, \dots& \not\to\\ a_n^n&:=&1,1,1,1, \dots& \to 1 \end{array}[/math]

c, Nem igaz, pl.: [math]\begin{array}{ll} \left(1+\displaystyle\frac 1n \right)&\to 1\\ \left(1+\displaystyle\frac 1n \right)^n&\to e \end{array}[/math]

d, Nem igaz, lásb (b) feladat megoldása.

3. Feladat

Adott a következő függvény:

[math] f(x)= \frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[3]{x}-8\sqrt{x}} [/math]

[math] a,\; \lim_{x\to{0+}} f(x)=? [/math]

[math] b,\; \lim_{x\to\infty} f(x)=? [/math]

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

4. Feladat

Legyen [math] n\geq1 [/math] tetszőleges egész és [math]f(x)=x\arctan\frac{1}{x^n}[/math] ha [math]x\neq0[/math] és [math]f(0)=0[/math]. Mely n-ekre deriválható az f függvény az origóban? Amikor létezik, folytonos-e a derivált itt?

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

5. Feladat

Adja meg a valós számegyenes véges sok olyan intervallumra való felosztását, melyek mindegyikén az [math] f(x)=x^5-80x [/math] függvény kölcsönösen egyértelmű!

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékeit!

[math]a,\;\int_{0}^\pi \sin^3\!{x}\;\mathrm{d}x=?[/math]

[math]b,\;\int_{0}^\pi {x}\sin\!{x}\;\mathrm{d}x=?[/math]

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)
A lap eredeti címe: „https://wiki.sch.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.01.09&oldid=179578”