Jelek és rendszerek - ZH2 2006.04.20.

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

ZH2 2006.04.20. B csoport

Nagykérdés

Egy FI rendszer impulzusválasza: [math]h(t)=2\delta(t) + \epsilon(t)(5e^{-2t}-3e^{-4t})[/math], gerjesztése: [math]10+5\cos(\omega t-0.8)[/math], a körfrekvencia: [math]\omega=3.2[/math]

a. Határozza meg a rendszer átviteli karakterisztikáját, és adja meg normálalakban, rendezett polinomok hányadosaként! (3 pont)

Megoldás:
[math]H(j\omega)=2+\frac{5}{j\omega+2}-\frac{3}{j\omega+4}=\frac{2(j\omega)^2+14j\omega+30}{(j\omega)^2+6j\omega+8}[/math]

b. Adja meg a gerjesztő jel középértékét és effektív értékét! (2 pont)

Megoldás:
A gerjesztés a 3.1-69 képletnek megfelelően van megadva: [math] \begin{array}{*{20}c} {x(t) = X_0 + \sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p \cos (p\Omega t + \xi _p )} } & , & {\Omega = \frac{{2\pi }}{T}} \\ \end{array} [/math] Teljesítmény a 3.1-73 képlet szerint: [math] P_x = X_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p^2 } [/math] Ennek négyzetgyöke lesz az effektív érték: [math] U_{eff} = \sqrt {X_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p^2 } } = \sqrt {X_0 ^2 + \frac{1}{2}X_1 ^2 } = \sqrt {10^2 + \frac{1}{2}5^2 } [/math]

[math]U_0=10[/math]
[math]U_eff=\sqrt{100+\frac{25}{2}}=10.607[/math]

c. Határozza meg a rendszer átviteli tényezőjét a megadott [math]\omega[/math] körfrekvencián! (2 pont)

Megoldás:
[math]H(j3.2)=2.245-j0.758=2.369e^{-j0,326}[/math]

d. Számítsa ki a rendszer [math]y(t)[/math] válaszának időfüggvényét! (3 pont)

Megoldás:
[math]H(0)=3.75[/math]
[math]y(t)=37.5+11.849\cos(\omega t-1.126)[/math]

Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)

1. Az x[k] DI szinuszos jel komplex amplitúdója [math]\overline X = 2e^{^{j\frac{\pi }{3}} }[/math], körfrekvenciája [math]\vartheta = \frac{\pi }{2}[/math]. Adja meg az [math]y[k]=x[k-1][/math] jel komplex amplitúdóját!

Megoldás:
[math]\left|{\overline Y}\right|=2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{6}}=2 \cdot e^{-j0.524}[/math]

2. Fogalmazza meg matematika alakban a torzításmentes jelátvitel kritériumát a folytonos idejű rendszer gerjesztés-válasz kapcsolatára vonatkozóan, az időtartományban!

Megoldás:
[math]y(t)=K \cdot u(t-T)[/math]

3. Egy FI idejű rendszer átviteli tényezője adott körfrekvencián [math]\overline H = 0.73e^{ - j1.05}[/math]. Adja meg a rendszer erősítését ugyanezen a körfrekvencián decibel [dB] egységben!

Megoldás:
[math]20\lg\left|{\overline H}\right|=-2.73 dB[/math]

4. Legfeljebb hány körfrekvenciájú harmónikus összetevőt tartalmazhat az L=6 periódusú diszkrét idejű jel valós Fourier sora? Sorolja fel ezen összetevők körfrekvenciáit!

Megoldás:
[math]\vartheta 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi[/math]

5. Egy folytonos idejű rendszer ugrásválaszának spektruma [math]G(j\omega)[/math]. Írja fel ennek ismeretében a rendszer átviteli karakterisztikáját!

Megoldás:
[math]H(j\omega)=j\omega\cdot G(j\omega)[/math]

ZH2 2006.04.20. A csoport

Nagykérdés

Adottak:

[math]H(e^{j\omega})=?[/math]

[math]u[0]=2, u[1]=1, u[2]=2, u[3]=0, u[k+4]=u[k][/math]

(aki tudja, az eredeti feladatban mi szerepelt a kérdőjelek helyén, beírhatná...)

1. Határozza meg az átviteli tényezőket [math]0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi[/math] körfrekvenciákra!
2. Adja meg a gerjesztő jel komplex Fourier-együtthatóját!
3. Adja meg a gerjesztő jel valós Fourier-sorát!
4. Írja föl a rendszer [math]y[k][/math] válaszának időfüggvényét!

Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)

1. Adja meg a [math]x(t)=5\sin(\omega t-\frac{\pi}{4})[/math] jel komplex amplitúdóját!

   Megoldás:
   [math]\overline X=3\cdot e^{-j\frac{\pi}{ ? 2 ? }}[/math]

   
   

   Megoldás3:
   [math]\overline X=5\cdot e^{-j\frac{3\pi}{ 4 }}[/math] , mert: [math]5sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) = 5cos(\omega t - \frac{3\pi}{4}) \rightarrow 5\cdot e^{-j\frac{3\pi}{4}}[/math]
   (-- csé - 2007.05.15.)

   
   
2. Határozza meg a [math]H(j\omega)=\frac{5}{j\omega+2}[/math] átviteli karakterisztikájú rendszer sávszélességét. [math]\epsilon=1[/math] ...

   Megoldás:
   [math]\Delta \omega=2[/math]
   Rendszer sávszélessége alatt az áteresztő tartomány szélességét értjük. Áteresztő tartomány ha |H(j*omega)||>=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) omega eleme [omegaa, omegab] az látszik hogy a fenti átviteli karakterisztikának omega=0-nál van a maximuma ami 2,5. Ezután már csak a tartomány másik végét kell megtalálni. Ehhez a következő egyenlőséget kell megoldani: ||H(j*omega)=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) komplex tört abszolút értéke a számláló abszolút értéke/nevező abszolút értéke. A számlálóé 5. a nevezőé gyök(valósrésznégyzet+képzetesrésznégyzet)=gyök(omeganégyzet+4). tehát: 5/gyök(omeganégyzet+4)=2,5/gyök2 Ebből omegára +/-2 adódik. Tehát a rendszer sávszélessége kettő.
   A megoldás levlistáról By Wittek Ádám (utólagos engedelmeddel az utókornak)-- banti

   
   
3. Adja meg a [math]x(t)=\epsilon(t+T/2)-\epsilon(t-T/2)[/math] folytonos idejű, páros jel spektrumának képzetes részét!

   Megoldás:
   [math]Im\{X(j\omega)\}=0[/math] , mert az x(t) fv páros, így csak valós összetevője van.

   
   
4. Adja meg a [math]x(t)=1+5\cos(\omega t-1.73)+2\cos(3\omega t)[/math] jel teljesítményét!

   Megoldás:
   [math]P_x=15.5[/math]

   
   
5. Az [math]x(t)[/math] folytonos idejű jel sávkorlátozott és sávkorlátja [math]\omega[/math]. Fejezze ki ezt matematikai alakban!

   Megoldás:
   [math]X(j\omega)=0[/math], ha [math]\left|{\omega}\right|\gt \Omega[/math]

   
   

-- Subi - 2007.04.20.