Jelek és rendszerek - ZH2 2006.04.20.
Tartalomjegyzék
A csoport
Nagykérdés
Adottak:
[math]H(e^{j\omega})=?[/math]
[math]u[0]=2, u[1]=1, u[2]=2, u[3]=0, u[k+4]=u[k][/math]
(aki tudja, az eredeti feladatban mi szerepelt a kérdőjelek helyén, beírhatná...)
- Határozza meg az átviteli tényezőket [math]0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi[/math] körfrekvenciákra!
- Adja meg a gerjesztő jel komplex Fourier-együtthatóját!
- Adja meg a gerjesztő jel valós Fourier-sorát!
- Írja föl a rendszer [math]y[k][/math] válaszának időfüggvényét!
Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)
- Adja meg a [math]x(t)=5\sin(\omega t-\frac{\pi}{4})[/math] jel komplex amplitúdóját!
Megoldás:
[math]\overline X=3\cdot e^{-j\frac{\pi}{ ? 2 ? }}[/math]Megoldás3:
[math]\overline X=5\cdot e^{-j\frac{3\pi}{ 4 }}[/math] , mert: [math]5sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) = 5cos(\omega t - \frac{3\pi}{4}) \rightarrow 5\cdot e^{-j\frac{3\pi}{4}}[/math]
(-- csé - 2007.05.15.) - Határozza meg a [math]H(j\omega)=\frac{5}{j\omega+2}[/math] átviteli karakterisztikájú rendszer sávszélességét. [math]\epsilon=1[/math] ...
Megoldás:
[math]\Delta \omega=2[/math]
Rendszer sávszélessége alatt az áteresztő tartomány szélességét értjük. Áteresztő tartomány ha |H(j*omega)||>=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) omega eleme [omegaa, omegab] az látszik hogy a fenti átviteli karakterisztikának omega=0-nál van a maximuma ami 2,5. Ezután már csak a tartomány másik végét kell megtalálni. Ehhez a következő egyenlőséget kell megoldani: ||H(j*omega)=Hmax/gyök(1+epszilonnégyzet) komplex tört abszolút értéke a számláló abszolút értéke/nevező abszolút értéke. A számlálóé 5. a nevezőé gyök(valósrésznégyzet+képzetesrésznégyzet)=gyök(omeganégyzet+4). tehát: 5/gyök(omeganégyzet+4)=2,5/gyök2 Ebből omegára +/-2 adódik. Tehát a rendszer sávszélessége kettő.
A megoldás levlistáról By Wittek Ádám (utólagos engedelmeddel az utókornak)-- banti - Adja meg a [math]x(t)=\epsilon(t+T/2)-\epsilon(t-T/2)[/math] folytonos idejű, páros jel spektrumának képzetes részét!
Megoldás:
[math]Im\{X(j\omega)\}=0[/math] , mert az x(t) fv páros, így csak valós összetevője van. - Adja meg a [math]x(t)=1+5\cos(\omega t-1.73)+2\cos(3\omega t)[/math] jel teljesítményét!
Megoldás:
[math]P_x=15.5[/math] - Az [math]x(t)[/math] folytonos idejű jel sávkorlátozott és sávkorlátja [math]\omega[/math]. Fejezze ki ezt matematikai alakban!
Megoldás:
[math]X(j\omega)=0[/math], ha [math]\left|{\omega}\right|\gt \Omega[/math]
B csoport
Nagykérdés
Egy FI rendszer impulzusválasza: [math]h(t)=2\delta(t) + \epsilon(t)(5e^{-2t}-3e^{-4t})[/math], gerjesztése: [math]10+5\cos(\omega t-0.8)[/math], a körfrekvencia: [math]\omega=3.2[/math]
a. Határozza meg a rendszer átviteli karakterisztikáját, és adja meg normálalakban, rendezett polinomok hányadosaként! (3 pont)
Megoldás:
[math]H(j\omega)=2+\frac{5}{j\omega+2}-\frac{3}{j\omega+4}=\frac{2(j\omega)^2+14j\omega+30}{(j\omega)^2+6j\omega+8}[/math]
b. Adja meg a gerjesztő jel középértékét és effektív értékét! (2 pont)
Megoldás:
A gerjesztés a 3.1-69 képletnek megfelelően van megadva:
[math]
\begin{array}{*{20}c}
{x(t) = X_0 + \sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p \cos (p\Omega t + \xi _p )} } & , & {\Omega = \frac{{2\pi }}{T}} \\
\end{array}
[/math]
Teljesítmény a 3.1-73 képlet szerint:
[math]
P_x = X_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p^2 }
[/math]
Ennek négyzetgyöke lesz az effektív érték:
[math]
U_{eff} = \sqrt {X_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^\infty {X_p^2 } } = \sqrt {X_0 ^2 + \frac{1}{2}X_1 ^2 } = \sqrt {10^2 + \frac{1}{2}5^2 }
[/math]
[math]U_0=10[/math]
[math]U_eff=\sqrt{100+\frac{25}{2}}=10.607[/math]
c. Határozza meg a rendszer átviteli tényezőjét a megadott [math]\omega[/math] körfrekvencián! (2 pont)
Megoldás:
[math]H(j3.2)=2.245-j0.758=2.369e^{-j0,326}[/math]
d. Számítsa ki a rendszer [math]y(t)[/math] válaszának időfüggvényét! (3 pont)
Megoldás:
[math]H(0)=3.75[/math]
[math]y(t)=37.5+11.849\cos(\omega t-1.126)[/math]
Kiskérdések (kérdésenként 1-1 pont)
1. Az x[k] DI szinuszos jel komplex amplitúdója [math]\overline X = 2e^{^{j\frac{\pi }{3}} }[/math], körfrekvenciája [math]\vartheta = \frac{\pi }{2}[/math]. Adja meg az [math]y[k]=x[k-1][/math] jel komplex amplitúdóját!
Megoldás:
[math]\left|{\overline Y}\right|=2 \cdot e^{-j\frac{\pi}{6}}=2 \cdot e^{-j0.524}[/math]
2. Fogalmazza meg matematika alakban a torzításmentes jelátvitel kritériumát a folytonos idejű rendszer gerjesztés-válasz kapcsolatára vonatkozóan, az időtartományban!
Megoldás:
[math]y(t)=K \cdot u(t-T)[/math]
3. Egy FI idejű rendszer átviteli tényezője adott körfrekvencián [math]\overline H = 0.73e^{ - j1.05}[/math]. Adja meg a rendszer erősítését ugyanezen a körfrekvencián decibel [dB] egységben!
Megoldás:
[math]20\lg\left|{\overline H}\right|=-2.73 dB[/math]
4. Legfeljebb hány körfrekvenciájú harmónikus összetevőt tartalmazhat az L=6 periódusú diszkrét idejű jel valós Fourier sora? Sorolja fel ezen összetevők körfrekvenciáit!
Megoldás:
[math]\vartheta 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi[/math]
5. Egy folytonos idejű rendszer ugrásválaszának spektruma [math]G(j\omega)[/math]. Írja fel ennek ismeretében a rendszer átviteli karakterisztikáját!
Megoldás:
[math]H(j\omega)=j\omega\cdot G(j\omega)[/math]
