Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok

← Vissza az előző oldalra – Elektromágneses terek alapjai

Itt gyűjtjük a szóbeli vizsgán húzható számolási feladatokat. A bennük szereplő számadatok nem túl lényegesek, mivel a vizsgán is csak a számolás menetére és elméleti hátterére kíváncsiak.

Kérlek bővítsétek a szóbelin ténylegesen kapott feladatokkal, amennyiben időtök engedi, részletes megoldással is.

Már az is nagy segítség, ha legalább az általad húzott feladat PONTOS szövegét és SORSZÁMÁT beírod ide! Sablon:Noautonum

42. Feladat: Áramsűrűségből megadott felületen átfolyó áram számítása

Stacionárius áramlási térben az áramsűrűség [math] J = e_z* 5 {kA \over m^2} [/math]. Mekkora a z-tengellyel 60°-os szöget bezáró [math] A=80 cm^2 [/math] felületen átfolyó áram?

Megoldás

A J áramsűrűség-vektor megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát. A J áramsűrűség-vektor z irányú, nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk.

[math]I = \int_A J dA[/math], esetünkben [math] I = J * A * \sin60^\circ=5000*80*10^{-4}*\sin60^\circ= 34.64A[/math]

50. Feladat: Két áramjárta vezető

Két egymással párhuzamos végtelen hosszú vezető egymástól 4m távolságban. Az egyiken 2A, a másikon 3A folyik. Mekkora erő hat az egyik vezeték 1 m-es szakaszára?

Megoldás

Az egyikre ható erő egyenlő a másikra ható erővel (Newton erő-ellenerő törvénye). A megoldáshoz az Ampere-féle gerjesztési törvényre, és a Lorentz-erőre van szükség.

H-t egy kör vonalán integráljuk, aminek a középpontját merőlegesen döfi át az egyik vezeték. Mivel a mágneses térerősségvektor a körvonal minden pontjában érintő irányú, így a vonalintegrál szorzássá egyszerűsödik.

[math]\oint H dl = \int J dA = I[/math]

[math]H_1 2 d \pi = I_1 \longrightarrow H_1 = \frac{I_1}{2 d \pi}[/math]

Tudjuk még, hogy [math]B = \mu_0 H[/math] vákuumban.

A Lorentz-erő képlete is szorzássá egyszerűsödik, mivel a vektorok derékszöget zárnak be egymással:

[math]F = q (v \times B ) = I (l \times B)[/math], ahol I a konstans áramerősség, l pedig a vezetéken folyó áram irányának vektora, hossza a megadott 1 m.

Innen a megoldás:

[math]F_{12} = I_2 l B_1 = I_2 l \mu_0 H_1 = \frac{\mu_0 l I_1 I_2}{2 d \pi} = \frac{4 \pi 10^{-7} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot \pi} = 3 \cdot 10^{-7} N[/math]

Fordított indexeléssel ugyanez jönne ki a másikra is. Jobbkéz-szabályból következik, hogy ha azonos irányba folyik az áram, akkor vonzzák egymást, ha ellentétes irányba, akkor taszítják. Szóbelin még érdemes megemlíteni, hogy ez a jelenség adja az Ampere mértékegység definícióját, 1 m hosszú szakasz, 1 m távolság, 1-1 A áramerősség esetén az erő:

[math]F = 2 \cdot 10^{-7} N[/math]

58. Feladat: Toroid tekercs

Hányszorosára változik egy L önindukciós együtthatóval rendelkező I1 = 2A árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan I2 = 5A -re növeljük? Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia?

Megoldás

Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek.

Egy bármilyen tekercs fluxusa az [math]\Psi=L*I[/math] képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: [math]\frac{\Psi_2}{\Psi_1}=\frac{L*I_2}{L*I_1}=\frac{I_2}{I_1}=2.5[/math]

Egy bármilyen tekercs energiája számolható a [math]W=\frac{1}{2}*L*I^2[/math] képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: [math]\frac{W_2}{W_1}=\frac{\frac{1}{2}*L*I_2^2}{\frac{1}{2}*L*I_1^2}=\frac{I_2^2}{I_1^2}=2.5^2=6.25[/math]

65. Feladat: Koaxiális jellegű vezeték tengelyében a mágneses térerősség

Egy r sugarú vékony falú rézcső belsejében, a tengelytől d távolságra, azzal párhuzamosan egy vékony rézvezeték helyezkedik el. Mindkét vezető elég hosszú és I nagyságú egyenáram folyik bennük, de ellenkező irányban. Mekkora az eredő mágneses térerősség nagysága a tengelyben, ha d < r ?

Megoldás

?

78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása

Egy ideális távvezeték mentén a feszültség komplex amplitúdója az [math]U(z) = (3+4j)*e^{-j \beta z} + (2-j)*e^{j \beta z}[/math] függvény szerint változik. Adja meg az állóhullámarányt!

Megoldás

A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad --> - j*béta*z ) és a reflektált (negatív irányba halad --> + j*béta*z ) komponenseinek komplex amplitúdói:

[math]U^+ = 3+4j[/math]

[math]U^- = 2-j[/math]

Megjegyzés: A feladat megadható úgy is, hogy U(x) függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez (U2+) tartozik a pozitív, a reflektálthoz (U2-) pedig a negatív hatványkitevő!

Kapcsolat a két fajta paraméterezés között:

[math]U_2^+ = U^+ e^{- \gamma l} \xrightarrow{ idealis TV} U^+ e^{- j \beta l} [/math]

[math]U_2^- = U^- e^{ \gamma l} \xrightarrow{ idealis TV} U^- e^{ j \beta l} [/math]

Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti "x" paraméterezéssel, majd ebből "z" szerinti paraméterezéssel:

[math]|r|=\left| {U_{reflektalt} \over U_{beeso}} \right|= \left| {U_2^- \over U_2^+ } \right|=\left| {U^- \over U^+ } e^{j2 \beta l} \right| = \left| {U^- \over U^+ } \right| =\left| {2-j \over 3+4j } \right| = {1 \over \sqrt{5}} = 0.447[/math]

Ebből pedig már számolható a távvezeték állóhullámaránya:

[math]\sigma = {1+|r] \over 1-|r| } = {1+0.447 \over 1-0.447 } \approx 2.62[/math]

81. Feladat: Távvezeték megadott feszültségű pontjának meghatározása

Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: [math]R' = 20 {m \Omega \over m}[/math] és [math]G' = 5 { \mu S \over m}[/math]. Egy [math]U_0[/math] egyenfeszültségű feszültség forrást kapcsolunk rá. Határozza meg azt a z távolságot, ahol a feszültség [math]U_0/2[/math] lesz!

Megoldás

Első körben meg kell határoznunk, hogy mennyi a távvezeték csillapítása (alfa), feltéve hogy omega=0, mivel egyenfeszültséggel gerjesztjük a távvezetéket:

[math]\alpha=Re\left\{ \gamma \right\}=Re\left\{ \sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')} \right\}=Re\left\{ \sqrt{R'*G'} \right\}=\sqrt{R'*G'}=\sqrt{0.02*5*10^{-6}}=3.16*10^{-4}{1\over m}[/math]

Most meg kell határoznunk, hogy a távvezeték mely "z" távolságú pontjára csillapodik a feszültség amplitúdója az eredeti érték felére:

[math]U_0*e^{-\alpha*z}={U_0 \over 2}[/math]

[math]e^{-\alpha*z}=0.5[/math]

[math]-\alpha*z=\ln 0.5 \longrightarrow z=-{\ln 0.5 \over \alpha}=-{\ln 0.5 \over 3.16*10^{-4}}=2.192 km[/math]

86. Feladat: Ideális távvezeték, számítás lánckarakterisztikával

Adott egy ideális távvezeték, melynek hullámimpedanciája [math]500\Omega[/math], hossza pedig [math]\frac{\lambda}{8}[/math]. A távvezeték végén adott az áram és a feszültség komplex amplitúdója: [math]2A[/math] illetve [math]500V[/math]. Határozzuk meg a feszültség komplex amplitúdóját a távvezeték elején.

Megoldás

Tudjuk, hogy [math]\beta = \frac{2 \pi}{\lambda} [/math] így [math](\beta l)=\frac{2 \pi}{\lambda}\frac{\lambda}{ 8} = \frac{\pi}{4}[/math]

Miután ez megvan, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának első egyenletét, majd behelyettesítünk:

[math]U_1 = cos (\beta l)*U_2 + j * sin(\beta l) * Z_0 * I_2 = cos \left( {\pi \over 4} \right)*500 + j * sin \left( {\pi \over 4} \right) * 500 * 2 = (354 + j707)V[/math]

94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram

Egy [math]R=5 \Omega[/math] ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa [math]\Phi(t)=30*sin(\omega t) mVs[/math], ahol [math]\omega=1 {krad \over s}[/math]. Mekkora a keretben folyó áram effektív értéke?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: [math]u_i=-{d\Phi(t) \over dt}=-\omega*0.03*cos(\omega t)[/math]

Behelyettesítve a körfrekvencia értékét: [math]u_i=-30*cos(\omega t) V[/math]

Innen a feszültség effektív értéke: [math]U_{eff}={30 \over \sqrt 2} V[/math]

Az áram effektív értéke pedig: [math] I_{eff}={U_{eff} \over R}={6 \over \sqrt 2} A[/math]

98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség

Az xy síkon helyezkedik el egy 3m sugarú, kör alakú, zárt l görbe. A mágneses indukció a térben homogén, z irányú komponense 40ms idő alatt 0.8T értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben az l görbe mentén?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: [math]u_i=-{d\Phi(t) \over dt}=-A*{ dB(t) \over dt}=-r^2\pi*{ \bigtriangleup B\over \bigtriangleup t}=-r^2\pi*{B_2-B_1\over\bigtriangleup t}=- 3^2\pi*{0-0.8\over0.04}=565.5 V [/math]

107. Feladat: Hengeres vezetőben disszipált hőteljesítmény

Egy [math]A=1.5 mm^2[/math] keresztmetszetű, 3m hosszú hengeres vezetőben 10A amplitúdójú 50 Hz-es szinuszos áram folyik. A behatolási mélység [math] \delta = 9.7 mm[/math], a fajlagos vezetőképesség pedig [math] \sigma = 3.7*10^7 {S \over m}[/math]. Mennyi a vezetőben disszipált hőteljesítmény?

Megoldás

A vezető sugara: [math]r=\sqrt{{1.5\over\pi}}=0.691mm\lt \lt \delta[/math]

Mivel a vezető sugara jóval kisebb mint a behatolási mélység, így a vezető vehető egy sima "l" hosszúságú, "A" keresztmetszetű és "szigma" fajlagos vezetőképességű vezetékdarabnak.

[math]R={1 \over \sigma}*{l \over A}={1 \over 3.7*10^{7}}*{3 \over 1.5*10^{-6}}=54m\Omega[/math]

A vezetékben disszipálódó hőteljesítmény (vigyázat, csúcsérték van megadva és nem effektív):

[math]P={1\over2}*R*I^2={1\over2}*0.054*10^2=2.7W[/math]

109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség

Egy 2mm sugarú, hosszú hengeres vezető 35 MS/m fajlagos vezetőképességű anyagból van, a behatolási mélység 80µm. A térerősség időfüggvénye a vezető felszínén [math]\vec{E}(t)=10*cos(\omega t)*\vec{n}_0[/math]. Itt n egy egységvektor, ami a vezető hosszanti tengelyével párhuzamos. Adja meg az áramsűrűség időfüggvényét a felülettől 2 behatolási mélységnyi távolságra!

Megoldás

Mivel: [math]\delta \lt \lt r [/math]

Így a mélység (z) függvényében a térerősség komplex amplitúdójának változása: [math]E(z)=E_0*e^{-\gamma z}=E_0*e^{- \left( 1/ \delta + j/ \delta \right) z}=E_0*e^{-z/ \delta}*e^{-jz/ \delta}[/math]

A differenciális Ohm-törvény: [math]\vec{J}=\sigma * \vec{E }[/math]

Ezeket egybefésülve és áttérve időtartományba: [math]\vec{J}(z,t)=Re \left\{ \sigma * E_0*e^{-z/ \delta}*e^{-jz/ \delta} *e^{j \omega t} \right\} * \vec{n}_0 = \sigma *E_0 * e^{-z/ \delta} * cos \left( \omega t - {z \over \delta} \right) * \vec{n}_0 [/math]

Behelyettesítés után [math]z= 2 \delta[/math] mélységben: [math]\vec{J}(t)= 35*10^6 * 10 * e^{-2 \delta / \delta} * cos \left( \omega t - {2 \delta \over \delta} \right) * \vec{n}_0 = 47.37 * cos \left( \omega t - 2 \right) * \vec{n}_0 {MA \over m^2}[/math]

143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény

Egy Hertz-dipólus az origó síkjában [math]\vartheta =0[/math] szögben áll. Írja fel az összes kisugárzott teljesítményt [math]\vartheta \in \left\{ 0,{\pi \over 2} \right\}[/math] tartományban a Poynting-vektor és a Hertz-dipólus irányhatásának segítségével!

Megoldás

A Hertz-dipólus által kisugárzott teljes teljesítmény:

[math]P={1 \over 2} * I^2 *R_s = {1 \over 2} * I^2* 80 \pi^2 \left( {l \over \lambda} \right)^2[/math]

A megadott tartomány az xy sík feletti félteret írja le. Mivel a Hertz-dipólus iránykarakterisztikája az xy síkra szimmetrikus, így a felső féltérbe a teljes teljesítmény fele sugárzódik ki.

149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény

Koaxiális kábelben egyenáram folyik, a dielektrikumban kialakuló elektromos és mágneses térerősség hengerkoordináta-rendszerben leírva a következő:<br\>[math]E(r)=\frac{U_0}{r}*\vec{e_r}[/math] (ahol [math]\vec{e_r}[/math] a radiális irányú egységvektor), <br\>[math]H(r)=\frac{I_0}{r}*\vec{e_\varphi}[/math] (ahol [math]\vec{e_\varphi}[/math] a fi irányú egységvektor).<br\> Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara r₁, a külső vezető belső sugara r₂, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú.

Megoldás

A Poynting-vektor kifejezése: [math]S=E \times H \Rightarrow S(r)=E(r)*H(r)*\vec{e_z}[/math] (ahol [math]\vec{e_z}[/math] a z irányú egységvektor). <br\>Innen a teljesítmény: [math]P=\int_{r_1}^{r_2} \int_0^{2\pi} \frac{U_0 I_0}{r^2} \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r=2\pi U_0 I_0(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})=2\pi U_0 I_0 \frac{r_2-r_1}{r_1 r_2}[/math]