„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.02” változatai közötti eltérés
a |
a |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Feladatok== | ==Feladatok== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?=== | ===1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?=== | ||
44. sor: | 5. sor: | ||
<math> (z-\overline{z} = \sqrt{2}*i) \;\;\&\;\; (z*\overline{z} = 1) </math> | <math> (z-\overline{z} = \sqrt{2}*i) \;\;\&\;\; (z*\overline{z} = 1) </math> | ||
− | + | {{Rejtett | |
− | + | |mutatott='''Megoldás''' | |
− | + | |szöveg= | |
<math> z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} </math> | <math> z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} </math> | ||
59. sor: | 20. sor: | ||
<math> z_1 = a_1+b*i \;\;\&\;\; z_2 = a_2+b*i \Rightarrow z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \;\;\&\;\; z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i </math> | <math> z_1 = a_1+b*i \;\;\&\;\; z_2 = a_2+b*i \Rightarrow z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \;\;\&\;\; z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i </math> | ||
+ | |||
+ | }} | ||
===2. Határozza meg a következő határértékeket! === | ===2. Határozza meg a következő határértékeket! === | ||
+ | |||
+ | <math> a,\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} </math> | ||
+ | |||
+ | <math> b,\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n </math> | ||
+ | |||
+ | <math> c,\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} </math> | ||
+ | |||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg= | ||
+ | |||
====a, feladat==== | ====a, feladat==== | ||
126. sor: | 100. sor: | ||
<math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{e})^{n^2} = \underline{\underline{0}} </math> | <math> \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{e})^{n^2} = \underline{\underline{0}} </math> | ||
+ | |||
+ | }} | ||
===3. Válaszolja meg a kérdést!=== | ===3. Válaszolja meg a kérdést!=== | ||
+ | |||
+ | <math> \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? </math> | ||
+ | |||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg= | ||
<math> \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? </math> | <math> \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? </math> | ||
158. sor: | 140. sor: | ||
<math> \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} </math> | <math> \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} </math> | ||
+ | |||
+ | }} | ||
===4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?=== | ===4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?=== | ||
+ | |||
+ | <math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math> | ||
+ | |||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg= | ||
<math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math> | <math> f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} </math> | ||
180. sor: | 170. sor: | ||
Tehát a Jo. és bo. hat érték nem ua. -> x=0-ban ugrása van. | Tehát a Jo. és bo. hat érték nem ua. -> x=0-ban ugrása van. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ===5. Válaszolja meg a kérdést!=== | ||
+ | |||
+ | Legyen f mindenütt deriválható függvény! | ||
+ | |||
+ | <math> f(x) = \frac{\sin x}{x} \;\;,ha\;\; x\neq0 </math> | ||
+ | |||
+ | <math> f(0) = \;?, \;f'(0) = \;? </math> | ||
+ | |||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg= | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ===6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?=== | ||
+ | |||
+ | <math>\displaystyle{ a.\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\displaystyle{ b.\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }</math> | ||
+ | |||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg= | ||
+ | |||
+ | }} | ||
[[Category:Villanyalap]] | [[Category:Villanyalap]] |
A lap 2014. január 17., 20:26-kori változata
Tartalomjegyzék
Feladatok
1. Mely z komplex számokra teljesül az alábbi feltétel?
[math] (z-\overline{z} = \sqrt{2}*i) \;\;\&\;\; (z*\overline{z} = 1) [/math]
[math] z_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} \;\;\&\;\; z_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i}} [/math]
A megoldás menete: z-t algebrai alakban felírva: z = a+b*i
[math] z-\overline{z} = \sqrt{2}*i \Rightarrow (a+b*i)-(a-b*i) = \sqrt{2}*i \Rightarrow 2b*i = \sqrt{2}*i \Rightarrow b = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} [/math]
[math] z*\overline{z} = 1 \Rightarrow (a+b*i)*(a-b*i) = 1 \Rightarrow a^2-ab*i+ab*i-b^2*i^2 = 1 \;\;\&\;\; i^2 = -1 \Rightarrow a^2+b^2 = 1 [/math]
[math] a^2+b^2 = 1 \;\;\&\;\; b^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2+\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = \underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \;\;\&\;\; a_2 = \underline{\underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}[/math]
[math] z_1 = a_1+b*i \;\;\&\;\; z_2 = a_2+b*i \Rightarrow z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \;\;\&\;\; z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i [/math]2. Határozza meg a következő határértékeket!
[math] a,\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} [/math]
[math] b,\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n [/math]
[math] c,\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} [/math]
a, feladat
[math] a.\;\; \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} [/math]
Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.
[math] \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{1}{3*n^3}})^{n^3} = \underline{\underline{e^{1/3}}} = \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} [/math]
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
[math] \lim_{n\to\infty}(1+{\frac{a}{n}})^n = e^a \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans [/math]
legyen m=n^3, n->végtelen, akkor n^3=m->végtelen
[math] \lim_{m\to\infty}(1+{\frac{1/3}{m}})^m = \underline{\underline{e^{1/3}}} = \underline{\underline{\sqrt[3]{e}}} [/math]
b, feladat
[math] b.\;\; \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n [/math]
Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.
[math] \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{n}})^n = \underline{\underline{0}} [/math]
A megoldás menete: a^n alakra visszavezetés
[math] \lim_{n\to\infty}a^n = 0 \;\; ,ha \;\; |a|\lt 1 \;\; a\in\mathbb{R} ,a=konstans[/math]
A hatványalap határértéke:
[math] \lim_{n\to\infty}({\frac{1}{3}-\frac{1}{n}}) = \frac{1}{3} \lt 1[/math]
A hatványalap tart az 1/3-hoz , n->végtelen, (1/3)^n -> *0*
b, feladat 2. megoldása (ha a 0*0 alak nem indefinite?!)
Megoldás -- Pogo - 2007.01.04.
[math] \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3}-\frac{1}{n})^n = \lim_{n\to\infty}(1*\frac{1}{3}-\frac{1}{3}*\frac{3}{n})^n [/math] Kiemelve: [math] \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n*(1+\frac{-3}{n})^n =0 [/math] Mivel: [math] \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{3})^n = 0 [/math] és [math] \lim_{n\to\infty}(1+\frac{-3}{n})^n=e^{-3}=\frac{1}{e^3}=0 [/math]
c, feladat
[math] c.\;\; \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} [/math]
Megoldás -- Hanci - 2007.01.04.
[math] \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \underline{\underline{0}} [/math]
A megoldás menete: nevezetes határértékre való visszavezetés
[math] \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^n = \frac{1}{e} [/math]
A feladatban szereplő kifejezés felírható a köv. alakban:
[math] \lim_{n\to\infty}(1-{\frac{1}{n}})^{n^3} = \lim_{n\to\infty}((1-{\frac{1}{n}})^n)^{n^2} [/math]
Mivel 1/e < 1
[math] \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{e})^{n^2} = \underline{\underline{0}} [/math]3. Válaszolja meg a kérdést!
[math] \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? [/math]
[math] \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \;? [/math]
Megoldás -- Hanci - 2007.01.05.
[math] \lim_{x\to{0+}}({\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}}) = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} [/math]
A megoldás menete:
A 2 nem 0, valós, konstans szám -> egyszerűsíthetünk vele.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+4x^4*\ln^2{x}}{4x^4*\ln^2{x}+6x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} [/math]
Az x^2 nem 0, valós (x tart a 0-hoz, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^4*\ln^2{x}+x^2*\ln{x}}{2x^4*\ln^2{x}+3x^2*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} [/math]
Az ln(x) nem 0, valós ( ln(x) tart a -végtelenhez, de nem egyenlő vele) -> ezzel is egyszerűsíthetünk.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln^2{x}+\ln{x}}{2x^2*\ln^2{x}+3*\ln{x}}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} [/math]
Ezután vizsgáljuk meg, hova tart 2x^2 * ln(x), ha x -> 0+
Mivel "0" * "-végtelen" alakú a kifejezés, átalakítható "végtelen"/"végtelen" alakúra, ami után már gond nélkül alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt.
[math] \lim_{x\to{0+}}{2x^2*\ln{x}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-\ln{x}}{1/(x^2)}} = \lim_{x\to{0+}}{-2*\frac{-1/x}{-2/x^3}} = \lim_{x\to{0+}}{-(x^2)} = 0 [/math]
Miután beláttuk, hogy a részkifejezés 0-hoz tart, megvizsgáljuk az egészet.
[math] \lim_{x\to{0+}}{\frac{2x^2*\ln{x}+1}{2x^2*\ln{x}+3}} = \lim_{x\to{0+}}{\frac{0+1}{0+3}} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} [/math]4. Hol és milyen szakadása van a függvénynek?
[math] f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} [/math]
[math] f(x) = {\frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}} [/math]
Megoldás -- Pogo - 2007.01.05.
Megoldás menete:jobb bal oldali hat érték. A nevező nem lehet=0 mert [math] {1+{e^{1/x}}} \neq 0 [/math] mivel [math] {e^{1/x}} \neq -1 [/math]
Tehát csak x=0 ban van szakadás.
[math] \lim_{x\to{0+}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to\infty} \frac{e^y}{1+e^y}= \lim_{z\to\infty} \frac{z}{z+1} \approx \frac{\infty}{\infty} L'H \frac{1}{1}=1 [/math]
[math] \lim_{x\to{0-}} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = \lim_{y\to{-\infty}} \frac{e^y}{1+e^y} = \lim_{z\to{0}} \frac{z}{z+1} = \frac{0}{1}=0 [/math]
5. Válaszolja meg a kérdést!
Legyen f mindenütt deriválható függvény!
[math] f(x) = \frac{\sin x}{x} \;\;,ha\;\; x\neq0 [/math]
[math] f(0) = \;?, \;f'(0) = \;? [/math]
6. Konvergensek-e a következő improprius integrálok?
[math]\displaystyle{ a.\;\; \int_{2}^\infty \frac{1}{\ln x} dx }[/math]
[math]\displaystyle{ b.\;\; \int_{1}^\infty \frac{1}{1-\cos {(x/2)}} dx }[/math]