TokiTetel25

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

-- Zsófi - 2005.06.23.

Kérdés: milyen feltételeket kell teljesítenie egy pontsorozatnak, hogy az ne lehessen más, mint Poisson?

Bevezettük mi is a kisordó jelölést: f(t)=o(t), ha lim(t->0) f(t)/t =0

//itt kicsit más, mint a jegyzet, ott a t helyén akármilyen g(t) fv. van, itt most a g(t)=t spec esetet néztük, de ez mindegy...

P(X(t)=0)=e^-lambda*t=

//érintővel felírva (az e^-lambda*t görbe érintője az 1-lambda*t egyenes (A (0,1) pontban érinti)) // hozzáadunk, levonunk (1-lambda*t)-t:

=1-lambda*t+[e^-lamda*t -(1-lambda*t)]

kérdés: az [e^-lamda*t -(1-lambda*t)] rész hogy viselkedik, ha t->0?

//Írjuk fel az e^-lambda*t Taylor-sorának első két (0. és 1.) tagját, a többit becsüljük felülről a Lagrange-féle hibataggal!

e^-lambda*t = 1 - lambda*t + lambda^2 * e^-lamda*kszhí(x)*(t^2/2) ahol 0<=kszhí<=t

//Tehát ha ebbe ezt behelyettesítjük, kijön, hogy

[e^-lamda*t -(1-lambda*t)]=  e^-lamda*kszhí(x)*(t^2/2)

Ha ezt elosztom t-vel, ez 0-hoz fog tartani, ha t->0. Tehát ennek a kifejezésnek az értéke o(t)

Ezt visszaírva a kiindulásiba: P(X(t)=0) = e^-lambda*t = 1-lambda*t+[e^-lamda*t -(1-lambda*t)] = 1-lambda*t+o(t)

P(X(t)=1)-re ezt felhasználva:

P(X(t)=1) = lambda*t*e^-lambda*t = lamda*t (1-lambda*t+o(t)) =

= lambda*t + lamda^2*t^2 + lamda*t*o(t)

//osszuk végig tagonként t-vel tagonként (t->0) és nézzük meg, hogy viselkedik!

=lambda*t+o(t)

Ez a sűrűségi feltétel! (P(X(t)=1)=lambda*t+o(t)) szemléletesen: ha t kicsi, a vszínűség arányos az intervallum hosszával.

P(T>=2)=1-P(X(t)=1)-P(X(t)=0)=1-(1-lambda*t+o(t))-(lambda*t+o(t))= o(t) Ez a ritkasági feltétel: annak a valószínűsége, hogy 2-nél több pont esik egy intervallumba, pici.

Ezek szükséges feltételek (ld. 3.4 tétel a jegyzetben), de bizonyos esetekben elégségesek is:

Tétel: Ha X(t) pontfolyamatra teljesül: 1. a független növekményűség 2. a stacionárius növekményűség 3. a sűrűségi feltétel 4. a ritkasági feltétel, akkor ez a pontfolyamat lambda intenzitású Poisson-folyamat.

Bizonyítás:

jelölés: Pk(t)=P(X(t)=k) Erről akarjuk megmutatni, hogy egyenlő [(lamda*t)^k*e^-lamda*t]/k! //Poisson elo. k. tagja

Felírunk egy diffegyenletrendszert: Pk(t+delta)=P(a [0,t+delta] intervallumba pontosan k db pont esik)=

//parkettázzuk ki egymást kizáró eseményekkel:

SZUMMA(n=0-tól k-ig) P(X(t+delta)=k, X(t)=k-n))

//(a második darabba pontosan n esik)

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) P(X(t+delta)-X(t)=n, X(t)=n-k)

// a független növekményűség miatt ez a két növekmény független=>

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) P(X(t+delta)-X(t)=n) * P(X(t)=n-k)

//Használjuk a stacionárius növekményt (a [t,t+delta] intervallumon ugyanaz a növekmény eloszlása, mint a [0, delta] intervallumon):

= SZUMMA(n=0-tól k-ig) Pn(delta) * Pk-n(t)

// az összeg első két tagja kiírva:

=P0(delta)*Pk(t) + P1(delta)*Pk-1(t)+ SZUMMA(n=2-től k-ig) Pn(delta) * Pk-n(t)

// sűrűségi&ritkasági feltételt alkalmazva:

= (1-lambda*delta+o(delta))*Pk(t) + (lamda*delta+o(delta))*Pk-1(t) + o(delta)

=(1-lambda*delta)*pk(t) + (lambda*delta)*Pk-1(t) +o(delta)

//Tehát az elejét és a végét megnézve itt tartunk:

Pk(t+delta)=(1-lambda*delta)*pk(t) + (lambda*delta)*Pk-1(t) +o(delta)

[Pk(t+delta)-Pk(t)]/delta = -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t) + o(delta)/delta

// o(delta)/delta-> 0-hoz, ha delta tart 0-hoz, de az oda tart def szt. =>

Pk'(t)= -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t)

Ha k>=1 akkor érvényes.

k=0-ra

P0'(t)=-lambda*P0(t)

// jegyzetben részletesebben van leírva Ennek a diffegyenletrendszernek egy megoldásrendszere van:

Pk'(t)= -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t)

P0'(t)=-lambda*P0(t)

P0(t)=e^-lambda*t +c

(+Kezdeti feltétel: P0(0)=1) Mekkora lehet a konstans(c)? P0(0)=P(X(0)=0)=1

ez csak úgy lehet, ha c=0 =>P0(t)=e^-lambda*t

Baj, hogy ebbe: [Pk'(t)= -lambda*Pk(t) + lambda*Pk-1(t)] pk és pk-1 is szerepel. Vezessünk be egy új függvényt:

Qk(t)=e^lambda*t*Pk(t) =>

Qk'(t)=lambda* e^lambda*t*Pk(t) + e^lambda*t *Pk'(t)=

lambda*Qk(t) -lambda*Qk(t) + lambda*Qk-1(t)

=lambda*Qk-1(t) !!!!!!!!!

Most rekurzíve megoldjuk: Q0(t)=1 Q1'(t)=lambda => Q1(t)=lambda*t +c

//c=0 => P1(t)=lambda*t*e^-lambda*t

Sejtés (ill. amit szeretnénk,ahhoz hogy Pk Poisson-folyamat legyen)

Qk(t)=(lambda*t)^k/k!

Teljes indukcióval: 1. k=1-re ok 2. TFH k-1-ig ok 3. Nézzük meg k-ra:

Qk'(t)=lambda*Qk-1(t)=

// indukciós felt. miatt

=lambda*(lambda*t)^k/(k-1)! =>

Qk'(t)=lambda^k t^(k-1) /(k-1)!

// integráljuk mindkét oldalt!

Q(t)=lambda^k INT(t^(k-1)/(k-1)!

Q(t)=lamda^k*t^k/(k-1)! +c //c=0 a kezdeti feltétel miatt!

VÉGE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!