TokiTetel2

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Irreducibilitás

Az X Markov-láncot irreducibilisnek nevezzük, ha minden állapota minden állapotából elérhető, ami azt jelenti, hogy minden [math]i, j \in S[/math]-re létezik egy [math]n_{ij} > 0[/math] úgy, hogy [math]p_{ij}^{(n_{ij})} > 0[/math].

Aperiodikusság

Az X Markov-lánc egy [math]i \in S[/math] állapotát aperiodikus állapotnak nevezzük, ha létezik egy [math]n_i[/math] > 0 úgy, hogy minden [math]n \geq n_i[/math] -re [math]p_{ii}^{(n)} > 0[/math].
Az X Markov-láncot aperiodikusnak nevezzük, ha minden állapota aperiodikus.
Ha egy X irreducibilis Markov-láncnak létezik egy aperiodikus állapota, akkor a lánc aperiodikus.

Bizonyítás

Legyek [math]k \in S[/math] egy aperiodikus állapot. Mivel a lánc irreducibilis, ezért létezik r és s egész úgy, hogy [math]p_{jk}^{(r)} = a > 0[/math] és [math]p_{kj}^{(s)} = b > 0[/math], tehát tetszőleges n egészre
[math]p_{jj}^{(n+r+s)} = \sum_{i \in S} \sum_{l \in S} p_{ji}^{(r)} p_{il}^{(n)} p_{lj}^{(s)} \geq p_{jk}^{(r)} p_{kk}^{(n)} p_{kj}^{(s)} = abp_{kk}^{(n)}[/math]
Ha k aperiodikus, akkor létezik egy [math]n_0[/math] úgy, hogy minden [math]n \geq n_0[/math] -ra [math]p_{kk}^{(n)} > 0[/math]. Viszont minden [math]n \geq n_0[/math] -ra [math]p_{jj}^{(n+r+s)} > 0[/math], tehát minden [math]n \geq n_0+r+s[/math] -re [math]p_{jj}^{(n)} > 0[/math], vagyis j aperiodikus állapot.
Tehát irreducibilis Markov-lánc esetén az aperiodikusság öröklődő.

-- Clip - 2006.05.22.