6. Feladat SzabTechVizsgaMinta

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Adja meg a zárt rendszer stabilitásának általános feltételét a Hurwitz-kritérium alakjában.

[math]a_{n}s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_{0}=0[/math] 

1. [math] \forall i \Rightarrow a_{i}\gt 0 [/math]
   
2. [math]\left[ \begin{array}{rrrrrr} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & ... \\ a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & ... \\ 0 & a_{n-2} & a_{n-4} & ... \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-2} & ... \\ 0 & 0 & a_{n-1} & ... \\ . & . & . & . \end{array} \right][/math] alakú mátrix Delta_i, ixi-es aldeterminansai nagyobbak mint 0. Ahol [math]i \in (0,1,2,3, ...)[/math]

Alkalmazza ezután a Hurwitz-kritériumot a következő kérdés megválaszolására:
Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye: [math]W_{0}(s)=\frac{K*(1+saT)}{s*(1+sT)^2}[/math] , ahol T > 0. Milyen feltételt kell kielégítenie az 'a' paraméternek, hogy a zárt rendszer strukturálisan (minden pozitív K körerősítés esetén) stabilis legyen?

Zart rendszer karakt egyenlete:

1+W_0(s)=0
1+[K(1+saT)/s(1+sT)^2]=0
s(1+sT)^2+K(1+saT)=0
T^2s^3+2Ts^2+(1+KaT)s+K=0

T>0, K>0 esetén a mely értékei mellett lesz stabil?
Az (a) feltétlei szerint:

• [math]T^2\gt 0[/math]
• [math]2T\gt 0[/math]
• [math] 1+aKT\gt 0 [/math]
  • [math]aKT\gt -1[/math]
    
  • [math]a\gt \frac{-1}{KT}[/math]
    

A (b) szerinti determinánsok:

• i=1 => [math]2T\gt 0[/math]
• i=2 => [math]\left[ \begin{array}{rr} 2T & 1 \\ T^2 & 1+KaT \end{array} \right][/math] miatt :
  • [math]2T(1+KaT)-T^2 \gt 0 [/math]
  • [math]2(1+KaT)-^2 \gt 0 [/math] ugyanis T>0
  • [math]2+2KaT-T \gt 0 [/math]
  • [math]2KaT \gt T-2 [/math]
  • [math]a \gt \frac{T-2}{2KT}[/math]
• i=3 => [math]\left[ \begin{array}{rrr} 2T & 1 & 0 \\ T^2 & 1+KaT & 0 \\ 0 & 2T & 1 \end{array} \right][/math] miatt:
  • [math]2T(1+KaT)-T^2+0 \gt 0 [/math]
  • [math]2T+2KaT^2-T^2 \gt 0 [/math]
  • [math]2+2KaT-T \gt 0 [/math]
  • [math]a \gt \frac{T-2}{2KT}[/math]

Tehát két feltételt kaptunk az [math]a[/math] értékére:

[math] \[a\gt \frac{-1}{KT}\] \[a \gt \frac{T-2}{2KT}\] [/math]

melyik feltetel az erosebb?

• rafoghatjuk a masodikra talan, hisz az 1. jobb oldala biztosan negativ.. JoeJoe
• Pontosan KT>0 esetén a második egyenlőtlenség szigorúbb megkötést jelent az [math]a[/math] értékére adamo

-- JoeJoe - 2006.06.04. -- adamo - 2006.06.04.