Tömegkiszolgálás - Házi feladatok 2004

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

1. feladat

Egy részecske az origóból indulva mozog az (x,y)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?

2. feladat

Ezen a helyen volt linkelve a pokhalo.png nevű kép a régi wiki ezen oldaláról. (Kérlek hozd át ezt a képet ide, különben idővel el fog tűnni a régi wikivel együtt)

Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól). Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?

3. feladat

Adott egy végtelen állapotú homogén Markov-lánc a {0,1,2,...} állapothalmazon az alábbi állapotátmeneti valószínűségekkel: [math] p_{01}=1, \; p_{i,i-1}+p_{i,i+1}=1, \; p_{i,i-1}=\left(\frac{i+1}{i}\right)^2 p_{i,i+1} \;\;\; (i\ge 1). [/math]

Ha a láncot az X₀=0 állapotból indítjuk, mennyi lesz a [math] \lim\limits_{n\to\infty} P(X_n=0) [/math] valószínűség értéke?

4. feladat

Bizonyítsd be, hogy egy homogén Markov-lánc akkor és csak akkor erősen stacionárius, ha azonos eloszlású.

5. feladat

Vizsgáljunk egy _M_ forrásból és 2 kiszolgálóból álló rendszert. A források egymástól függetlenül, emlékezetmentesen generálnak igényeket, 1/2 valószínűséggel _A_ típusút, 1/2 valószínűséggel _B_ típusút (melyeket mindegyikük a saját várakozási sorában FIFO módon sorbaállít). Az _A_ típusú igényeket csak az egyik, míg a _B_ típusúakat csak a másik kiszolgáló tudja kezelni; mindkettő egy-egy igénnyel végez időegységenként.

• Stacionárius állapotban mekkora a rendszer áteresztőképessége, azaz hány igényt tud kiszolgálni időegységenként?
• M=2 forrás esetén hogyan változik a rendszer áteresztőképessége, ha a források nem egyenlő valószínűséggel generálják a kétféle igényt?

6. feladat

Tekintsük az {S_n} (n≥0) szimmetrikus bolyongást, ahol a felfelé és a lefelé lépések valószínűsége egyaránt 1/2, és S₀=0. (Vagyis [math] S_n = \sum_{i=1}^n X_i [/math], ahol {X_n} független valószínűségi változók sorozata, melyek közös eloszlása P(X_n=1) = P(X_n=-1) = 1/2 ∀n≥1-re.) Legyen τ := min{n: S_n=2}, vagyis az a (minimális) lépésszám, amikor a bolyongás során először jutunk a kezdeti 0 állapotból a 2-be. Határozzuk meg a τ valószínűségi változó eloszlását generátorfüggvény segítségével!

7. feladat

Egy egyirányú úton az autók λ paraméterű Poisson-folyamat szerint érkeznek. Egy gyalogos szeretne átjutni az egyik oldalról a másikra. Mivel az út jól belátható, csak akkor indul el, amikor biztosan tudja, hogy áthaladás közben nem érkezik autó. Átlagosan mennyi ideig kell várnia a gyalogosnak a biztonságos átjutásra, ha _v_ m/s sebességgel halad és az út _x_ méter széles? Mi a valószínűsége annak, hogy nem kényszerül várakozásra?

8. feladat

Két bolha ugrál egy négyzet csúcsain, egymástól függetlenül. Az egyik mindig pozitív körüljárási irányban halad, és az ugrásai között eltelt idő λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó szerinti. A másik pedig mindig negatív körüljárási irányban halad μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó által megadott időközönként ugorva. Mi a valószínűsége annak, hogy egy t>0 időpontban a négyzet azonos csúcsán áll a két bolha? A valószínűség zárt alakban való megadásához szükséges az alábbi két hatványsor ismerete:

[math] \cosh x = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \hspace{1em} \cos x = \sum_{i=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. [/math]

9. feladat

Egy távközlési társaság két város közötti digitális összeköttetés sebességét szeretné optimálisan méretezni. A felhasználók 30 hívás/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generálnak hívásokat, melyek hossza egymástól és a hívások között eltelt időtől teljesen független, exponenciális eloszlású 3 perc/hívás várható értékkel. Minden olyan hívást elveszettnek tekintünk, amely akkor érkezik, amikor az összeköttetés teljes kihasználtsággal üzemel („az összes vonal foglalt”). Egy hívás 64 Kbit/sec sebességű digitális csatornát igényel. Milyen sebességű összeköttetést kell a társaságnak kiépítenie ahhoz, hogy a hívásoknak csak az 1%-a vesszen el? Hogyan változik a szükséges sebesség, ha az elveszett hívások arányát 0,1% alá akarjuk szorítani?

10. feladat

Egy 64 Kbit/sec sebességű adatátviteli csatornán szeretnénk 8 (egymástól független) igényforrás csomagjait továbbítani. Minden forrás 180 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat. A csomagok hossza exponenciális eloszlású 1024 bit/csomag várható értékkel. Határozd meg a rendszerben tartózkodó csomagok átlagos számát és egy csomag átlagos késleltetését, ha

1. a források időosztás szerint használják a csatornát;
2. statisztikus multiplexálást (csomagkoncentrátort) alkalmazunk.

Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?

Megoldás

-- Peti - 2006.11.21.