Tömegkiszolgálás - Házi feladatok 2004

1. feladat

Egy részecske az origóból indulva mozog az (x,y)-síkon. Minden lépése során az _x_ és _y_ irányú elmozdulása egy-egy egymástól független, a [-1,1] intervallumon egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változóval írható le. Az egyes lépései függetlenek a korábbi lépésektől. Átlagosan milyen messze jut el a részecske az origótól n lépés megtétele után, ha a távolságot négyzetes középértékben számoljuk?

2. feladat

Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

Az ábrán látható pókháló _L_ pontjába ragadt egy légy. A pók a _P_ pontból indul, és minden lépésben az aktuális pont szomszédai közül egyenletes eloszlás szerint választva halad tovább (függetlenül a korábbi választásaitól). Várhatóan hány lépésben fogja meg a pók a legyet?

3. feladat

Adott egy végtelen állapotú homogén Markov-lánc a {0,1,2,...} állapothalmazon az alábbi állapotátmeneti valószínűségekkel: [math] p_{01}=1, \; p_{i,i-1}+p_{i,i+1}=1, \; p_{i,i-1}=\left(\frac{i+1}{i}\right)^2 p_{i,i+1} \;\;\; (i\ge 1). [/math]

Ha a láncot az X₀=0 állapotból indítjuk, mennyi lesz a [math] \lim\limits_{n\to\infty} P(X_n=0) [/math] valószínűség értéke?

4. feladat

Bizonyítsd be, hogy egy homogén Markov-lánc akkor és csak akkor erősen stacionárius, ha azonos eloszlású.

5. feladat

Vizsgáljunk egy _M_ forrásból és 2 kiszolgálóból álló rendszert. A források egymástól függetlenül, emlékezetmentesen generálnak igényeket, 1/2 valószínűséggel _A_ típusút, 1/2 valószínűséggel _B_ típusút (melyeket mindegyikük a saját várakozási sorában FIFO módon sorbaállít). Az _A_ típusú igényeket csak az egyik, míg a _B_ típusúakat csak a másik kiszolgáló tudja kezelni; mindkettő egy-egy igénnyel végez időegységenként.

• Stacionárius állapotban mekkora a rendszer áteresztőképessége, azaz hány igényt tud kiszolgálni időegységenként?
• M=2 forrás esetén hogyan változik a rendszer áteresztőképessége, ha a források nem egyenlő valószínűséggel generálják a kétféle igényt?

6. feladat

Tekintsük az {S_n} (n≥0) szimmetrikus bolyongást, ahol a felfelé és a lefelé lépések valószínűsége egyaránt 1/2, és S₀=0. (Vagyis [math] S_n = \sum_{i=1}^n X_i [/math], ahol {X_n} független valószínűségi változók sorozata, melyek közös eloszlása P(X_n=1) = P(X_n=-1) = 1/2 ∀n≥1-re.) Legyen τ := min{n: S_n=2}, vagyis az a (minimális) lépésszám, amikor a bolyongás során először jutunk a kezdeti 0 állapotból a 2-be. Határozzuk meg a τ valószínűségi változó eloszlását generátorfüggvény segítségével!

7. feladat

Egy egyirányú úton az autók λ paraméterű Poisson-folyamat szerint érkeznek. Egy gyalogos szeretne átjutni az egyik oldalról a másikra. Mivel az út jól belátható, csak akkor indul el, amikor biztosan tudja, hogy áthaladás közben nem érkezik autó. Átlagosan mennyi ideig kell várnia a gyalogosnak a biztonságos átjutásra, ha _v_ m/s sebességgel halad és az út _x_ méter széles? Mi a valószínűsége annak, hogy nem kényszerül várakozásra?

8. feladat

Két bolha ugrál egy négyzet csúcsain, egymástól függetlenül. Az egyik mindig pozitív körüljárási irányban halad, és az ugrásai között eltelt idő λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó szerinti. A másik pedig mindig negatív körüljárási irányban halad μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó által megadott időközönként ugorva. Mi a valószínűsége annak, hogy egy t>0 időpontban a négyzet azonos csúcsán áll a két bolha? A valószínűség zárt alakban való megadásához szükséges az alábbi két hatványsor ismerete:

[math] \cosh x = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \hspace{1em} \cos x = \sum_{i=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}. [/math]

9. feladat

Egy távközlési társaság két város közötti digitális összeköttetés sebességét szeretné optimálisan méretezni. A felhasználók 30 hívás/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generálnak hívásokat, melyek hossza egymástól és a hívások között eltelt időtől teljesen független, exponenciális eloszlású 3 perc/hívás várható értékkel. Minden olyan hívást elveszettnek tekintünk, amely akkor érkezik, amikor az összeköttetés teljes kihasználtsággal üzemel ("az összes vonal foglalt"). Egy hívás 64 Kbit/sec sebességű digitális csatornát igényel. Milyen sebességű összeköttetést kell a társaságnak kiépítenie ahhoz, hogy a hívásoknak csak az 1%-a vesszen el? Hogyan változik a szükséges sebesség, ha az elveszett hívások arányát 0,1% alá akarjuk szorítani?

10. feladat

Egy 64 Kbit/sec sebességű adatátviteli csatornán szeretnénk 8 (egymástól független) igényforrás csomagjait továbbítani. Minden forrás 180 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat. A csomagok hossza exponenciális eloszlású 1024 bit/csomag várható értékkel. Határozd meg a rendszerben tartózkodó csomagok átlagos számát és egy csomag átlagos késleltetését, ha

1. a források időosztás szerint használják a csatornát;
2. statisztikus multiplexálást (csomagkoncentrátort) alkalmazunk.

Hogyan változnak az előbbi értékek, ha a 8 közül 4 forrás 300 csomag/perc, 4 pedig 60 csomag/perc intenzitású Poisson-folyamat szerint generál csomagokat?