Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

• [math]\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))[/math]
• [math]\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)[/math]
• [math]2n\pi = \varphi L[/math]
• [math]L = \frac{2n\pi}{\varphi}[/math]

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

• Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
• Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
• Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y[k] = \cos(3k)[/math]

Nem.

• [math]2n\pi = \varphi L[/math]
• [math]\varphi = 3[/math]
• [math]2n\pi = 3L[/math]
• [math]L = \frac{2n\pi}{3}[/math]

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.

[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]

Igen.

• [math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
• [math]2n\pi = \varphi L[/math]
• [math]\varphi = \frac{\pi}{17}[/math]
• [math]2n\pi = \frac{\pi}{17}L[/math]
• [math]2 = \frac{L}{17}[/math]
• [math]L = 2 \cdot 17 = 34[/math]

[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]

Igen. [math]L = 38[/math]

[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Igen. [math]L = 26[/math]

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: [math]T \in \mathbb{R}[/math].

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10[/math]

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az [math]y(t)[/math] jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

• 1. [math]5 \cos(2t)[/math]
• 2. [math]3 \sin(4t)[/math]
• 3. [math]10[/math]

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

• [math]T_1 = \pi[/math]
• [math]T_2 = \frac{\pi}{2}[/math]

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: [math]T = \pi[/math].

[math]y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)[/math]

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: [math]T = 2\pi[/math].