Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)

A VIK Wikiből
< Szerkesztő:Nagy Vilmos
A lap korábbi változatát látod, amilyen Nagy Vilmos (vitalap | szerkesztései) 2017. szeptember 26., 14:13-kor történt szerkesztése után volt. (→‎Válasz: 4. gyak, 1. feladat)
(eltér) ← Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

  • [math]\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))[/math]
  • [math]\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)[/math]
  • [math]2n\pi = \varphi L[/math]
  • [math]L = \frac{2n\pi}{\varphi}[/math]

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

  • Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
  • Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
  • Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y[k] = \cos(3k)[/math]

Nem.

  • [math]2n\pi = \varphi L[/math]
  • [math]\varphi = 3[/math]
  • [math]2n\pi = 3L[/math]
  • [math]L = \frac{2n\pi}{3}[/math]

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.

[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]

Igen.

  • [math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
  • [math]2n\pi = \varphi L[/math]
  • [math]\varphi = \frac{\pi}{17}[/math]
  • [math]2n\pi = \frac{\pi}{17}L[/math]
  • [math]2 = \frac{L}{17}[/math]
  • [math]L = 2 \cdot 17 = 34[/math]

[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]

Igen. [math]L = 38[/math]

[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Igen. [math]L = 26[/math]

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: [math]T \in \mathbb{R}[/math].

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10[/math]

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az [math]y(t)[/math] jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

  • 1. [math]5 \cos(2t)[/math]
  • 2. [math]3 \sin(4t)[/math]
  • 3. [math]10[/math]

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

  • [math]T_1 = \pi[/math]
  • [math]T_2 = \frac{\pi}{2}[/math]

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: [math]T = \pi[/math].

[math]y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)[/math]

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: [math]T = 2\pi[/math].

  • [math]T_1 = \frac{\pi}{2}[/math]
  • [math]T_2 = \frac{2\pi}{7}[/math]

Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként

Diszkrét idejű jelek

Adott a [math]y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1][/math] öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy [math]y[-1] = 5[/math], s [math]u[k] = 2\cdot\epsilon[k][/math]. Számoljuk ki az y értékeit különböző k értékekre.

Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet [math]y[k] = ... [/math]-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az [math]y[-1][/math]-et, így az [math]y[0][/math] triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő y érték is. Valahogy így:

k u y
-1 0 5
0 2 2
1 2 12.4
2 2 ...

A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:

  • A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
  • A tengelyek legyenek elnevezve!

A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a [math]y[538][/math] értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a [math]y[537][/math] értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).

2. Gyakorlat

Itt nem voltam, sry. Aki akarja, pótolja nyugodtan ide

3. Gyakorlat

1. feladat

Moriczkának 1000 pénze van. 10% éves kamatra beteszi a bankba, ahol azt évente tőkésítik.

  • Mennyi pénze lesz Móriczkának 1-2-3 év múlva? Számold ki kézzel!
  • Rajzolj jelfolyam hálózatot.

2. feladat

Az előadásjegyzetben pedzegetett hallgatós példa, csak más számokkal. A fent linkelt előadás-jegyzetem legelején megtalálod, nem részletezem itt.

3. feladat

Adott az alábbi rendszer: (szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io -n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqWGNHcDE2MDkzems ) Jelek jegyzet vilmosnagy gyak 03 3 jel abra.png

Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát!

A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

A, B, C, D mátrixok

[math]\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -0.05 & -0.6 \end{bmatrix}[/math]

[math]\underline{B} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1.5 \end{bmatrix}[/math]

[math]\underline{C}^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}[/math]

[math]d = 1[/math]

Saját értékek, Lagrange Mátrixok

[math]\lambda_1 = -0.1[/math]

[math]\lambda_2 = -0.5[/math]

[math]\underline{\underline{L_1}} = \begin{bmatrix} 1.25 & 2.5 \\ -0.125 & -0.25 \end{bmatrix}[/math]

[math]\underline{\underline{L_2}} = \begin{bmatrix} -0.25 & -2.5 \\ 0.125 & 1.25 \end{bmatrix}[/math]

[math]\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_1}} \cdot \underline{B} = -0.125[/math]

[math]\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_2}} \cdot \underline{B} = 1.625[/math]

Impulzusválasz

[math]h[k] = \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (-0.125 \cdot (-0.1^k) + 1.625 \cdot (-0.5^k))[/math]

4. gyakorlat

1. feladat

Lásd az előző gyakorlat 3. feladatát. Adott ugyanez a rendszer, csak folytonos időben. Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát! A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.

Ami ugyanaz

Az A, B, C, D mátrixok, a Lagrange mátrixok, az A mátrix sajátértékei azonosak.

Impulzusválasz

[math]h(t) = \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (e^{-0.1\cdot t} \cdot -0.125 + e^{-0.5\cdot t} \cdot 1.625)[/math]

Válasz

  • Ha a gerjesztés: [math]u(t) = 2 \epsilon(t)[/math]
  • [math]y(t) = -0.25 \cdot e^{-0.1\cdot t} (\frac{e^{0.1\cdot t}}{0.1} - \frac{1}{0.1}) + 3.25 \cdot e^{-0.5\cdot t} (\frac{e^{0.5\cdot t}}{0.5} - \frac{1}{0.5})[/math]
  • [math]y(t) = \epsilon(t) \cdot (6 + 2.5 \cdot e^{-0.1\cdot t} - 6.5 \cdot e^{-0.5\cdot t})[/math]