Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)
Tartalomjegyzék
1. Gyakorlat
Periodicitás vizsgálata
Diszkrét idejű jelek
Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?
Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:
- [math]\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))[/math]
- [math]\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)[/math]
- [math]2n\pi = \varphi L[/math]
- [math]L = \frac{2n\pi}{\varphi}[/math]
Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:
- Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
- Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
- Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.
Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.
Feladatok
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
[math]y[k] = \cos(3k)[/math]
Nem.
- [math]2n\pi = \varphi L[/math]
- [math]\varphi = 3[/math]
- [math]2n\pi = 3L[/math]
- [math]L = \frac{2n\pi}{3}[/math]
Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.
Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.
[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
Igen.
- [math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
- [math]2n\pi = \varphi L[/math]
- [math]\varphi = \frac{\pi}{17}[/math]
- [math]2n\pi = \frac{\pi}{17}L[/math]
- [math]2 = \frac{L}{17}[/math]
- [math]L = 2 \cdot 17 = 34[/math]
[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]
Nem.
[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]
Igen. [math]L = 38[/math]
[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]
Nem.
[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]
Igen. [math]L = 26[/math]
Folytonos idejű jelek
Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: [math]T \in \mathbb{R}[/math].
Feladatok
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
[math]y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10[/math]
Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.
Az [math]y(t)[/math] jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:
- 1. [math]5 \cos(2t)[/math]
- 2. [math]3 \sin(4t)[/math]
- 3. [math]10[/math]
Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:
- [math]T_1 = \pi[/math]
- [math]T_2 = \frac{\pi}{2}[/math]
Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: [math]T = \pi[/math].
[math]y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)[/math]
A fentiek alapján periodikus, periódusideje: [math]T = 2\pi[/math].
- [math]T_1 = \frac{\pi}{2}[/math]
- [math]T_2 = \frac{2\pi}{7}[/math]
Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként
Diszkrét idejű jelek
Adott a [math]y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1][/math] öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy [math]y[-1] = 5[/math], s [math]u[k] = 2\cdot\epsilon[k][/math]. Számoljuk ki az y értékeit különböző k értékekre.
Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet [math]y[k] = ... [/math]-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az [math]y[-1][/math]-et, így az [math]y[0][/math] triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő y érték is. Valahogy így:
| k | u | y |
|---|---|---|
| -1 | 0 | 5 |
| 0 | 2 | 2 |
| 1 | 2 | 12.4 |
| 2 | 2 | ... |
A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:
- A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
- A tengelyek legyenek elnevezve!
A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a [math]y[538][/math] értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a [math]y[537][/math] értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.
Folytonos idejű jelek
Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).
2. Gyakorlat
Itt nem voltam, sry. Aki akarja, pótolja nyugodtan ide
3. Gyakorlat
1. feladat
Moriczkának 1000 pénze van. 10% éves kamatra beteszi a bankba, ahol azt évente tőkésítik.
- Mennyi pénze lesz Móriczkának 1-2-3 év múlva? Számold ki kézzel!
- Rajzolj jelfolyam hálózatot.
2. feladat
Az előadásjegyzetben pedzegetett hallgatós példa, csak más számokkal. A fent linkelt előadás-jegyzetem legelején megtalálod, nem részletezem itt.
3. feladat
Adott az alábbi rendszer:
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io -n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqWGNHcDE2MDkzems )
Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát!
A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.
A, B, C, D mátrixok
[math]\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -0.05 & -0.6 \end{bmatrix}[/math]
[math]\underline{B} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1.5 \end{bmatrix}[/math]
[math]\underline{C}^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}[/math]
[math]d = 1[/math]
Saját értékek, Lagrange Mátrixok
[math]\lambda_1 = -0.1[/math]
[math]\lambda_2 = -0.5[/math]
[math]\underline{\underline{L_1}} = \begin{bmatrix} 1.25 & 2.5 \\ -0.125 & -0.25 \end{bmatrix}[/math]
[math]\underline{\underline{L_2}} = \begin{bmatrix} -0.25 & -2.5 \\ 0.125 & 1.25 \end{bmatrix}[/math]
[math]\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_1}} \cdot \underline{B} = -0.125[/math]
[math]\underline{C}^T \cdot \underline{\underline{L_2}} \cdot \underline{B} = 1.625[/math]
Impulzusválasz
[math]h[k] = \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (-0.125 \cdot (-0.1^k) + 1.625 \cdot (-0.5^k))[/math]
4. gyakorlat
1. feladat
Lásd az előző gyakorlat 3. feladatát. Adott ugyanez a rendszer, csak folytonos időben. Számoljuk ki a rendszer impulzusválaszát! A számolás módja az elődásjegyzetben van részletezve, ide csak a fontosabb rész-eredményeket vésem le.
Ami ugyanaz
Az A, B, C, D mátrixok, a Lagrange mátrixok, az A mátrix sajátértékei azonosak.
Impulzusválasz
[math]h(t) = \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (e^{-0.1\cdot t} \cdot -0.125 + e^{-0.5\cdot t} \cdot 1.625)[/math]
Válasz
Ha a gerjesztés: [math]u(t) = 2 \epsilon(t)[/math] [math]y(t) = -0.25 \cdot e^{-0.1\cdot t} (\frac{e^{0.1\cdot t}}{0.1} - \frac{1}{0.1}) + 3.25 \cdot e^{-0.5\cdot t} (\frac{e^{0.5\cdot t}}{0.5} - \frac{1}{0.5})[/math] [math]y(t) = \epsilon(t) \cdot (6 + 2.5 \cdot e^{-0.1\cdot t} - 6.5 \cdot e^{-0.5\cdot t})[/math]
