„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
113. sor: 113. sor:
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 +
 +
=== Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként ===
 +
==== Diszkrét idejű jelek ====
 +
Adott a <math>y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1]</math> öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy <math>y[-1] = 5</math>, s <math>u[k] = 2\cdot\epsilon[k]</math>. Számoljuk ki az ''y'' értékeit különböző ''k'' értékekre.
 +
 +
Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet <math>y[k] = ... </math>-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az <math>y[-1]</math>-et, így az <math>y[0]</math> triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő ''y'' érték is. Valahogy így:
 +
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! k !! u !! y
 +
|-
 +
| -1 || 0 || 5
 +
|-
 +
| 0 || 2 || 2
 +
|-
 +
| 1 || 2 || 12.4
 +
|-
 +
| 2 || 2 || ...
 +
|}
 +
 +
<small>A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:
 +
* A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
 +
* A tengelyek legyenek elnevezve!
 +
</small>
 +
 +
A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a <math>y[538]</math> értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a <math>y[537]</math> értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.
 +
 +
==== Folytonos idejű jelek ====
 +
Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).

A lap 2017. szeptember 5., 10:05-kori változata

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:

  • [math]\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L))[/math]
  • [math]\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L)[/math]
  • [math]2n\pi = \varphi L[/math]
  • [math]L = \frac{2n\pi}{\varphi}[/math]

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

  • Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
  • Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
  • Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y[k] = \cos(3k)[/math]

Nem.

  • [math]2n\pi = \varphi L[/math]
  • [math]\varphi = 3[/math]
  • [math]2n\pi = 3L[/math]
  • [math]L = \frac{2n\pi}{3}[/math]

Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.

[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]

Igen.

  • [math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]
  • [math]2n\pi = \varphi L[/math]
  • [math]\varphi = \frac{\pi}{17}[/math]
  • [math]2n\pi = \frac{\pi}{17}L[/math]
  • [math]2 = \frac{L}{17}[/math]
  • [math]L = 2 \cdot 17 = 34[/math]

[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]

Igen. [math]L = 38[/math]

[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Igen. [math]L = 26[/math]

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek periodicitását ugyanúgy vizsgáljuk, mint a diszkrét idejű jeleknél. Az egyetlen különbség, hogy a folytonos idejű jeleknél a periódusidő nem szükségszerűen egész, hanem lehet racionális szám is: [math]T \in \mathbb{R}[/math].

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y(t) = 5 \cos(2t) + 3 \sin(4t) + 10[/math]

Ilyen jeleknél, amik több periodikus jel szuperpozíciója, az egyes részeinek periódusidejét számoljuk ki, majd ezen periódusidők legkisebb közös többszöröse lesz a szuperponált jel periódusideje.

Az [math]y(t)[/math] jel három jel szuperpozíciója. Ezek külön, külön:

  • 1. [math]5 \cos(2t)[/math]
  • 2. [math]3 \sin(4t)[/math]
  • 3. [math]10[/math]

Ebből az utolsó triviálisan periodikus, periódusideje tulajdonképpen bármelyik racionális szám. A másik kettőről meg megtanultuk középiskolában, hogy periodikusak, periódusidejük:

  • [math]T_1 = \pi[/math]
  • [math]T_2 = \frac{\pi}{2}[/math]

Ezek alapján az eredeti jel periodikus, periódusideje: [math]T = \pi[/math].

[math]y(t) = 4 \cos(4t) + 5 \sin(7t)[/math]

A fentiek alapján periodikus, periódusideje: [math]T = 2\pi[/math].

  • [math]T_1 = \frac{\pi}{2}[/math]
  • [math]T_2 = \frac{2\pi}{7}[/math]

Rendszer válaszának kiszámolása lépésenként

Diszkrét idejű jelek

Adott a [math]y[k] + 0.8y[k-1] = 3u[k] + 4u[k-1][/math] öszefüggés. Továbbá tudjuk, hogy [math]y[-1] = 5[/math], s [math]u[k] = 2\cdot\epsilon[k][/math]. Számoljuk ki az y értékeit különböző k értékekre.

Az előadásvázlatban van hasonló példa. Az egészet [math]y[k] = ... [/math]-ra rendezve kapunk egy egyszerű összefüggést. Mivel tudjuk az [math]y[-1][/math]-et, így az [math]y[0][/math] triviálisan számolható. Ezek után a következő, majd a következő, majd az azt követő y érték is. Valahogy így:

k u y
-1 0 5
0 2 2
1 2 12.4
2 2 ...

A gyakorlaton ezt még felrajzoltuk egy grafikonra. Két dolgot jegyeztünk meg:

  • A diszkrét értékeket nem kötjük össze!
  • A tengelyek legyenek elnevezve!

A fenti módszer hátránya, hogyha szeretném tudni a [math]y[538][/math] értékét, akkor ahhoz ki kell számolni a [math]y[537][/math] értékét, és így tovább összes korábbi értéket is.

Folytonos idejű jelek

Folytonos idejű jelek is lehetnének hasonlóan számolhatóak, de ott a megfelelő lépésköz sokkal nehezebben meghatározható (gondolj a Taylor polinommal való közelítésre).