„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Gyakorlatjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
(Teszt)
 
(Első gyakorlat anyaga nagyrészt felskiccelve.)
7. sor: 7. sor:
 
== 1. Gyakorlat ==
 
== 1. Gyakorlat ==
 
=== Periodicitás vizsgálata ===
 
=== Periodicitás vizsgálata ===
==== Folytonos idejű jelek ====
+
==== Diszkrét idejű jelek ====
 +
Adott <math>y[k] = \cos(\varphi k)</math>. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?
 +
 
 +
Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk:
 +
<math>
 +
\cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L)) \newline
 +
\varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L) \newline
 +
2n\pi = \varphi L \newline
 +
L = \frac{2n\pi}{\varphi}
 +
</math>
 +
 
 +
Az így kapott ''L'' értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:
 +
* Az ''L'' egész. Örülünk, a jel periodikus.
 +
* Az ''L'' racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az ''n''), s örülünk, a jel periodikus.
 +
* Az ''L'' irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.
 +
 
 +
Általánosságban a <math>2n\pi = \varphi L</math> összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.
 +
 
 +
===== Feladatok =====
 
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
 
Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?
  
<math>y(t) = \cos(\varphi k)</math>
 
 
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
This text is not collapsible; but the next is collapsible and hidden by default:
+
<math>y[k] = \cos(3k)</math>
<div class="mw-collapsible-content">megoldás</div>
+
<div class="mw-collapsible-content">
 +
Nem.
 +
<math>
 +
2n\pi = \varphi L \newline
 +
\varphi = 3 \newline
 +
2n\pi = 3L \newline
 +
L = \frac{2n\pi}{3}
 +
</math>
 +
Erre semmilyen olyan ''n''-t nem tudunk mondani, hogy ''L'' egész legyen.
 +
 
 +
Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a ''k'' <math>\pi</math> racionális többszöröse.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 +
<math>y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})</math>
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
Igen.
 +
<math>
 +
y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3}) \newline
 +
2n\pi = \varphi L \newline
 +
\varphi = \frac{\pi}{17} \newline
 +
2n\pi = \frac{\pi}{17}L \newline
 +
2 = \frac{L}{17} \newline
 +
L = 2 \cdot 17 = 34
 +
</math>
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 +
<math>y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})</math>
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
Nem.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 +
<math>y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})</math>
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
Igen. <math>L = 38</math>
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 +
<math>y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})</math>
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
Nem.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
 +
<math>y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})</math>
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
Igen. <math>L = 26</math>
 
</div>
 
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible" style="width:40em;">
 
megoldás
 
 
</div>
 
</div>

A lap 2017. szeptember 5., 09:30-kori változata

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal a gyakorlaton elhangzott feladatokat, s azok megoldásait tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Az előadásjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Előadásjegyzet_-_2017_(ősz)

1. Gyakorlat

Periodicitás vizsgálata

Diszkrét idejű jelek

Adott [math]y[k] = \cos(\varphi k)[/math]. Hogyan számoljuk ki, hogy periodikus-e?

Felírjuk az periodicitás definícióját, majd számolunk: [math] \cos(\varphi k) = \cos(\varphi \cdot (k + L)) \newline \varphi k + 2n\pi = \varphi(k+L) \newline 2n\pi = \varphi L \newline L = \frac{2n\pi}{\varphi} [/math]

Az így kapott L értéknek definíció szerint egész számnak kell lennie. Három eset lehet a számolás végén:

  • Az L egész. Örülünk, a jel periodikus.
  • Az L racionális tört. Szorozzuk fel, hogy egész legyen (erre van a képletben az n), s örülünk, a jel periodikus.
  • Az L irracionális tört. Ebből sehogy nem lesz egész, a jel nem periodikus.

Általánosságban a [math]2n\pi = \varphi L[/math] összefüggést érdemes megjegyezni, majd abból számolni.

Feladatok

Peridokusak-e az alábbi jelek? Amennyiben igen, mi a periódusideje?

[math]y[k] = \cos(3k)[/math]

Nem. [math] 2n\pi = \varphi L \newline \varphi = 3 \newline 2n\pi = 3L \newline L = \frac{2n\pi}{3} [/math] Erre semmilyen olyan n-t nem tudunk mondani, hogy L egész legyen.

Kis számolással beláthatjuk, hogy a diszkrét idejű jelek csak akkor lesznek periodikusak, ha a k [math]\pi[/math] racionális többszöröse.

[math]y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3})[/math]

Igen. [math] y[k] = \cos(k\frac{\pi}{17} + \frac{\pi}{3}) \newline 2n\pi = \varphi L \newline \varphi = \frac{\pi}{17} \newline 2n\pi = \frac{\pi}{17}L \newline 2 = \frac{L}{17} \newline L = 2 \cdot 17 = 34 [/math]

[math]y[k] = \cos(k\frac{2}{5} + \frac{\pi}{2})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \cos(k\frac{3\pi}{19} + \frac{\pi}{2})[/math]

Igen. [math]L = 38[/math]

[math]y[k] = \sin(k\frac{5}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Nem.

[math]y[k] = \sin(k\frac{5\pi}{13} + \frac{\pi}{4})[/math]

Igen. [math]L = 26[/math]