Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)

Előszó: Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf

A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.

Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)

Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)

Megjegyzések magamnak

Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...

• az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.

Bevezetés

A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:

• Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
• Híd deformációja a terhelés függvényében
• Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
• stb.

Rendszerek ábrázolása

Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.

(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )

Példa

A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.

Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x₁, x₂, x₃, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x₁ értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):

• [math]x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] [/math]
• [math]x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] [/math]
• [math]x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] [/math]
• [math]y[k] = b_3 \cdot x_3[k][/math]

(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)

Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:

• [math]u[k] = 500[/math] minden k-ra
• [math]a_n = 0.3[/math] minden n-re
• [math]b_n = 0.65[/math] minden n-re

(vegyük észre, hogy [math]a_n + b_n[/math] nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).

Év (k)	Elsőévesek	Másodévesek	Harmadévesek	Végzők
1	500	0	0	0
2	650	325	0	0
3	695	520	211	0
4	709	608	401	137
5	713	643	515	260
5	714	656	572	335

Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.

Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.

Jelek osztályozása

Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)

• [math]u[k][/math] a k időbeli gerjesztés
• [math]y[k][/math] a k időbeli válasza a rendszernek
• A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így: [math]W\left\{u[k]\right\} = y[k][/math]

Gerjesztések, Válaszok száma

A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.

Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők

Idő variancia

A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk

• Idő variáns rendszereket
• Idő invariáns rendszereket.

A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy [math]W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L][/math].

Lineáris rendszerek

Igaz az alábbi összefüggés:

[math]W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}[/math]

Memória mentes, vagy memóriás

Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés [math]u(t)[/math] illetve [math]u[k][/math] értékétől függ.

Kauzális, vagy akauzális

Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a [math]t_1[/math] ill. [math]k_1[/math] pillanatban csak a gerjesztés [math]u(t), \quad t\lt t_1[/math] illetve [math]u[k], \quad k\lt k_1[/math] értékétől függ.

Folytonos / Diszkrét idejű jelek

Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.

• Folytonos idejű, jelölése [math]x(t)[/math]
  A folytonos idejű jelek minden [math]t \in \mathbb{R}[/math] értékben értelmezettek.
• Diszkrét idejű, jelölése [math]x[k][/math]
  A diszkrét idejű jelek csak a [math]k \in \mathbb{Z}[/math] egész számok helyén értelmezettek.

Periodicitás

Folytonos időben

Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]T \in \mathbb{R}[/math] periódusidő, hogy [math]x(t) = x(t + T)[/math] minden t-re.

Diszkrét időben

Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]L \in \mathbb{Z}[/math] periódusidő, hogy [math]x[k] = x[k + L][/math] minden k-ra.

Egyéb osztályozás

Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.

• Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
  ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz
• Belépő: [math]x(t) = 0[/math] minden [math]t\lt 0[/math] esetén.

Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.

Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:

• páros: [math]x(t) = x(-t)[/math] (az y tengelyre szimmetrikus)
• páratlan: [math]x(t) = -x(-t)[/math] (az origóra szimmetrikus)

Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Jelek felírása

Diszkrét idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységimpulzus

[math]\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}[/math]

Egységugrás

[math]\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}[/math]

Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

Példa 1

Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: [math]\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i][/math] (szerk.: ezt ellenőrizd le!)

Példa 2

Vegyük a következő jelet:

[math]x[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}[/math].

Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:

[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i][/math].

Itt ugye a [math]\delta[k-i][/math] csak a [math]k = i[/math] esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:

[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i][/math].

Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak [math]k = i[/math] esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:

[math]x[k]=x[k][/math]

DE!

LTI rendszer válasza

Nevezetes válaszok

• Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: [math]h[k][/math]
• Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza

Konvolúció

Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:

• [math]y[k] = W\left\{u[k]\right\}[/math]
• [math]y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}[/math]
• mivel ez lineáris rendszer, így: [math]y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}[/math]
• mivel ez idő invariáns rendszer, így: [math]y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i][/math]

Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:

• egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
• lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
• számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.

Kauzális rendszer, belépő jel esetén

Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:

[math]y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i][/math]

Folytonos idejű jelek esetén

Speciális jelek

Egységugrás

[math]\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t\gt 0 \end{cases}[/math]

Megjegyzés: Az [math]\epsilon(0)[/math]-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.

Egységimpulzus

Írjuk fel az [math]\epsilon(t, T)[/math] függvényt a következőképpen:

[math]\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t \gt T \end{cases}[/math]

Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. [math]\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1[/math]

Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az [math]\epsilon(t, T)[/math]-ben a T tart nullához.