„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
| 1. sor: | 1. sor: | ||
| − | + | '''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]] | |
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz. | A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz. | ||
| 14. sor: | 14. sor: | ||
=== Rendszerek ábrázolása === | === Rendszerek ábrázolása === | ||
| − | Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható. (Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU ) | + | Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható. |
| + | |||
| + | ''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )</small>'' | ||
| + | |||
| + | <small>''(szerk.: Amíg nincs LaTeX a vikwiki-n, s PDF-ben olvasod, addig a kép itt: https://vik.wiki/images/7/79/Jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_%C3%A1br%C3%A1zol%C3%A1sa.png)''</small> | ||
[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]] | [[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]] | ||
| 21. sor: | 25. sor: | ||
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x<sub>1</sub>'', ''x<sub>2</sub>'', ''x<sub>3</sub>'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x<sub>1</sub>'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel): | Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: ''x<sub>1</sub>'', ''x<sub>2</sub>'', ''x<sub>3</sub>'', ''y''. Ebből az ''x''-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az ''y'' az adott évben végző hallgatók száma. Az ''x<sub>1</sub>'' értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat ''u''-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat ''a''-val, sikeresen teljesítőket ''b''-vel (ezt most önkényesen jelölöm ''a'' illetve ''b''-vel): | ||
| − | * <math>x_1[k+1] = a_1 | + | * <math>x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] </math> |
| − | * <math>x_2[k+1] = a_2 | + | * <math>x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] </math> |
| − | * <math>x_3[k+1] = a_3 | + | * <math>x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] </math> |
| − | * <math>y[k] = b_3 | + | * <math>y[k] = b_3 \cdot x_3[k]</math> |
| − | (szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/) | + | ''<small>(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)</small>'' |
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha: | Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha: | ||
| − | + | * <math>u[k] = 500</math> minden ''k''-ra | |
| − | + | * <math>a_n = 0.3</math> minden ''n''-re | |
| − | + | * <math>b_n = 0.65</math> minden ''n''-re | |
(vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe). | (vegyük észre, hogy <math>a_k + b_k</math> nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe). | ||
| 51. sor: | 55. sor: | ||
|} | |} | ||
| − | Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány félév múlva egy | + | Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány félév múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni. |
Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban. | Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban. | ||
| 93. sor: | 97. sor: | ||
====== Példa 2 ====== | ====== Példa 2 ====== | ||
Vegyük a következő jelet: | Vegyük a következő jelet: | ||
| − | <math>\x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 | + | |
| + | <math>\x[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}</math>. | ||
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így: | Ezt fel tudjuk írni egy sorban így: | ||
| − | <math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 | + | |
| + | <math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i]</math>. | ||
Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva: | Itt ugye a <math>\delta[k-i]</math> csak a <math>k = i</math> esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva: | ||
| − | <math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] | + | <math>x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]</math>. |
| − | Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme, | + | Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak <math>k = i</math> esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk. DE! |
===== Konvolúció ===== | ===== Konvolúció ===== | ||
| 108. sor: | 114. sor: | ||
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math> válasza általánosságban: | Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer <math>y[k]</math> válasza általánosságban: | ||
| − | <math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] | + | <math>y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> |
(vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat...) | (vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat...) | ||
A lap 2017. szeptember 4., 15:33-kori változata
Előszó: Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Tartalomjegyzék
1. előadás - Bevezetés
Bevezetés
A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
- Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
- Híd deformációja a terhelés függvényében
- Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
- stb.
Rendszerek ábrázolása
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )
(szerk.: Amíg nincs LaTeX a vikwiki-n, s PDF-ben olvasod, addig a kép itt: 
)
Példa
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):
- [math]x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] [/math]
- [math]x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] [/math]
- [math]x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] [/math]
- [math]y[k] = b_3 \cdot x_3[k][/math]
(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
- [math]u[k] = 500[/math] minden k-ra
- [math]a_n = 0.3[/math] minden n-re
- [math]b_n = 0.65[/math] minden n-re
(vegyük észre, hogy [math]a_k + b_k[/math] nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).
| Félév (k) | Elsőévesek | Másodévesek | Harmadévesek | Végzők |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 500 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 650 | 325 | 0 | 0 |
| 3 | 695 | 520 | 211 | 0 |
| 4 | 709 | 608 | 401 | 137 |
| 5 | 713 | 643 | 515 | 260 |
| 5 | 714 | 656 | 572 | 335 |
Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány félév múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.
Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.
Jelek osztályozása
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
- Folytonos idejű jelölése [math]x(t)[/math]
- Diszkrét idejű jelölése [math]x[t][/math]
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
- Determinisztikus: minden értéke megjósolható (nem véletlenszerű)
- Belépő: [math]x(t) = 0, t\lt 0[/math] esetén.
Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy.
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
- páros: [math]x(t) = x(-t)[/math] (az x tengelyre szimmetrikus)
- páratlan: [math]x(t) = -x(-t)[/math] (az origóra szimmetrikus)
Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Jelek felírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységimpulzus
[math]\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}[/math]
Egységugrás
[math]\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}[/math]
Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Példa 1
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: [math]\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i][/math] (szerk.: ezt ellenőrizd le!)
Példa 2
Vegyük a következő jelet:
[math]\x[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}[/math].
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i][/math].
Itt ugye a [math]\delta[k-i][/math] csak a [math]k = i[/math] esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i][/math].
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak [math]k = i[/math] esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk. DE!
Konvolúció
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. (Ezt így nem mondtuk ki általánosan előadáson, hogy minden esetben igaz, de használjuk a tárgy keretein belül.) Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válasza [math]h[k][/math]-tal jelölt.
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer [math]y[k][/math] válasza általánosságban: [math]y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i][/math] (vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat...)
Folytonos idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységugrás
[math]\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t\gt 0 \end{cases}[/math] Megjegyzés: Az [math]\epsilon(0)[/math]-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.
Egységimpulzus
Írjuk fel az [math]\epsilon(t, T)[/math] függvényt a következőképpen:
[math]\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t \gt T \end{cases}[/math] (ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. Az integrálja 1.)
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az [math]\epsilon(t, T)[/math]-ben a T tart nullához.
