„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
(→Példa: index javítás) |
(→Jelek állapotváltozós leírása: FI jelek állapotváltozós leírása képletek) |
||
| (14 közbenső módosítás ugyanattól a szerkesztőtől nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
| − | |||
| − | |||
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz. | A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz. | ||
| 6. sor: | 4. sor: | ||
Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]] | Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]] | ||
| + | |||
| + | A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY! | ||
== Megjegyzések magamnak == | == Megjegyzések magamnak == | ||
| 11. sor: | 11. sor: | ||
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni. | * az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni. | ||
| − | == | + | == Bevezetés == |
| − | |||
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például: | A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például: | ||
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma. | * Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma. | ||
| 19. sor: | 18. sor: | ||
* stb. | * stb. | ||
| − | + | == Rendszerek ábrázolása == | |
| − | Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható. | + | Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható. |
''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )</small>'' | ''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )</small>'' | ||
| 26. sor: | 25. sor: | ||
[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]] | [[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]] | ||
| − | + | === Példa === | |
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek. | A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek. | ||
| 64. sor: | 63. sor: | ||
Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban. | Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban. | ||
| − | + | == Jelek osztályozása == | |
| − | Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. | + | Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel: |
| + | <br/><small>(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)</small> | ||
| + | * <math>u[k]</math> a ''k'' időbeli gerjesztés | ||
| + | * <math>y[k]</math> a ''k'' időbeli válasza a rendszernek | ||
| + | * A teljes rendszert pedig a ''W''-vel jelöljük, így: <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k]</math> | ||
| + | |||
| + | === Gerjesztések, Válaszok száma === | ||
| + | A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk. | ||
| + | |||
| + | Léteznek MIMO, MISO, SIMO (''m'', mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.<br/><small>A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az ''u'', ''y'', etc. vektorokként értelmezendők</small> | ||
| + | |||
| + | === Idő variancia === | ||
| + | A ''W'' operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk | ||
| + | |||
| + | * Idő variáns rendszereket | ||
| + | * Idő invariáns rendszereket. | ||
| + | |||
| + | A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy <math>W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L]</math>. | ||
| + | |||
| + | === Lineáris rendszerek === | ||
| + | Igaz az alábbi összefüggés: | ||
| + | |||
| + | <math>W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}</math> | ||
| + | |||
| + | === Memória mentes, vagy memóriás === | ||
| + | '''Def:''' Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a ''t'' ill. ''k'' pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t)</math> illetve <math>u[k]</math> értékétől függ. | ||
| + | |||
| + | === Kauzális, vagy akauzális === | ||
| + | '''Def:''' Egy rendszer kauzális, ha a válasza a <math>t_1</math> ill. <math>k_1</math> pillanatban csak a gerjesztés <math>u(t), \quad t<t_1</math> illetve <math>u[k], \quad k<k_1</math> értékétől függ. | ||
| − | + | === Folytonos / Diszkrét idejű jelek === | |
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről. | Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről. | ||
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> <br/> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek. | * Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> <br/> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek. | ||
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> <br/> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek. | * Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> <br/> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek. | ||
| − | + | === Periodicitás === | |
| − | + | ==== Folytonos időben ==== | |
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy | Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy | ||
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re. | <math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re. | ||
| − | + | ==== Diszkrét időben ==== | |
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy | Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy | ||
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra. | <math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra. | ||
| − | + | === Egyéb osztályozás === | |
| − | Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy. | + | Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy. |
| − | * Determinisztikus: | + | * Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (''megjósolható'', nem véletlenszerű)<br/><small>ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz</small> |
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén. | * Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén. | ||
| 88. sor: | 115. sor: | ||
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket: | Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket: | ||
| − | * páros: <math>x(t) = x(-t)</math> (az '' | + | * páros: <math>x(t) = x(-t)</math> <small>(az ''y'' tengelyre szimmetrikus)</small> |
| − | * páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> (az origóra szimmetrikus) | + | * páratlan: <math>x(t) = -x(-t)</math> <small>(az origóra szimmetrikus)</small> |
'''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére. | '''Állítás:''' Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére. | ||
<br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | <br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | ||
| − | + | == Jelek felírása == | |
| − | + | === Diszkrét idejű jelek esetén === | |
| − | + | ==== Speciális jelek ==== | |
| − | + | ===== Egységimpulzus ===== | |
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math> | <math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math> | ||
| − | + | ===== Egységugrás ===== | |
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math> | <math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math> | ||
| − | '''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. | + | '''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. |
<br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | <br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | ||
| − | + | ===== Példa 1 ===== | |
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | ||
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | <math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | ||
''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>'' | ''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>'' | ||
| − | + | ===== Példa 2 ===== | |
Vegyük a következő jelet: | Vegyük a következő jelet: | ||
| 128. sor: | 155. sor: | ||
DE! | DE! | ||
| + | |||
| + | ==== LTI rendszer válasza ==== | ||
| + | ===== Nevezetes válaszok ===== | ||
| + | * Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h[k]</math> | ||
| + | * Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza | ||
===== Konvolúció ===== | ===== Konvolúció ===== | ||
| − | + | Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor: | |
| − | |||
| − | + | * <math>y[k] = W\left\{u[k]\right\}</math> | |
| + | * <math>y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}</math> | ||
| + | * mivel ez lineáris rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}</math> | ||
| + | * mivel ez idő invariáns rendszer, így: <math>y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i]</math> | ||
| − | + | Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor: | |
| + | * egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok), | ||
| + | * lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt, | ||
| + | * számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére. | ||
| − | + | ====== Speciális esetek ====== | |
| + | ====== Kauzális rendszer, belépő jel esetén ====== | ||
| + | Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva: | ||
| − | + | <math>y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i]</math> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | === Folytonos idejű jelek esetén === | |
| − | + | ==== Speciális jelek ==== | |
| − | + | ===== Egységugrás ===== | |
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | <math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | ||
'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | '''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | ||
| − | + | ===== Egységimpulzus ===== | |
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | ||
| 159. sor: | 195. sor: | ||
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához. | Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az <math>\epsilon(t, T)</math>-ben a T tart nullához. | ||
| + | |||
| + | Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk: | ||
| + | * <math>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1</math> | ||
| + | * <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)</math> | ||
| + | |||
| + | Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van: | ||
| + | * <math>\delta(t) = \epsilon'(t)</math> | ||
| + | * <math>\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau</math> | ||
| + | |||
| + | ==== LTI rendszer válasza ==== | ||
| + | ===== Nevezetes válaszok ===== | ||
| + | * Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: <math>h(t)</math> | ||
| + | * Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza | ||
| + | |||
| + | ===== Konvolúció ===== | ||
| + | Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény: | ||
| + | |||
| + | <math>y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau</math> | ||
| + | |||
| + | A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben. | ||
| + | |||
| + | == Jelek állapotváltozós leírása == | ||
| + | === Diszkrét idejű jelek esetén === | ||
| + | ==== Állapotváltozós leírás ==== | ||
| + | Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel: | ||
| + | * <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \cdot u[k]</math> | ||
| + | * <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \cdot u[k]</math> | ||
| + | |||
| + | Ennek így elsőre semmi értelme, de: | ||
| + | * ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk | ||
| + | * ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk | ||
| + | * és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban. | ||
| + | |||
| + | Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc. | ||
| + | |||
| + | Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki: | ||
| + | |||
| + | * <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math> | ||
| + | * <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math> | ||
| + | * <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math> | ||
| + | |||
| + | ==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ==== | ||
| + | Az így felírt rendszer impulzusválasza: | ||
| + | |||
| + | <math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math> | ||
| + | |||
| + | ===== Mátrix egyszerű hatványozása ===== | ||
| + | Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem). | ||
| + | |||
| + | Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz): | ||
| + | <math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math> | ||
| + | |||
| + | Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei. | ||
| + | |||
| + | A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk: | ||
| + | <math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math> | ||
| + | |||
| + | Azaz: | ||
| + | <math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math> | ||
| + | |||
| + | A Lagrange mátrix pedig általánosságban: | ||
| + | <math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math> | ||
| + | Konkrétabban: | ||
| + | * <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math> | ||
| + | * <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math> | ||
| + | |||
| + | Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}} | ||
| + | |||
| + | === Folytonos idejű jelek esetén === | ||
| + | ==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ==== | ||
| + | Az így felírt rendszer impulzusválasza: | ||
| + | |||
| + | <math>h(t) = d \cdot \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (\underline{c} \cdot e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} \cdot \underline{B})</math> | ||
| + | |||
| + | <math>e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} = \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_i \cdot t} \cdot \underline{\underline{L_{i}}}</math> | ||
A lap jelenlegi, 2017. szeptember 26., 12:37-kori változata
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)
A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!
Tartalomjegyzék
Megjegyzések magamnak
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
- az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.
Bevezetés
A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
- Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
- Híd deformációja a terhelés függvényében
- Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
- stb.
Rendszerek ábrázolása
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )
Példa
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):
- [math]x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] [/math]
- [math]x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] [/math]
- [math]x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] [/math]
- [math]y[k] = b_3 \cdot x_3[k][/math]
(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
- [math]u[k] = 500[/math] minden k-ra
- [math]a_n = 0.3[/math] minden n-re
- [math]b_n = 0.65[/math] minden n-re
(vegyük észre, hogy [math]a_n + b_n[/math] nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).
| Év (k) | Elsőévesek | Másodévesek | Harmadévesek | Végzők |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 500 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 650 | 325 | 0 | 0 |
| 3 | 695 | 520 | 211 | 0 |
| 4 | 709 | 608 | 401 | 137 |
| 5 | 713 | 643 | 515 | 260 |
| 5 | 714 | 656 | 572 | 335 |
Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.
Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.
Jelek osztályozása
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
- [math]u[k][/math] a k időbeli gerjesztés
- [math]y[k][/math] a k időbeli válasza a rendszernek
- A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így: [math]W\left\{u[k]\right\} = y[k][/math]
Gerjesztések, Válaszok száma
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.
Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők
Idő variancia
A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk
- Idő variáns rendszereket
- Idő invariáns rendszereket.
A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy [math]W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L][/math].
Lineáris rendszerek
Igaz az alábbi összefüggés:
[math]W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}[/math]
Memória mentes, vagy memóriás
Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés [math]u(t)[/math] illetve [math]u[k][/math] értékétől függ.
Kauzális, vagy akauzális
Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a [math]t_1[/math] ill. [math]k_1[/math] pillanatban csak a gerjesztés [math]u(t), \quad t\lt t_1[/math] illetve [math]u[k], \quad k\lt k_1[/math] értékétől függ.
Folytonos / Diszkrét idejű jelek
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
- Folytonos idejű, jelölése [math]x(t)[/math]
A folytonos idejű jelek minden [math]t \in \mathbb{R}[/math] értékben értelmezettek. - Diszkrét idejű, jelölése [math]x[k][/math]
A diszkrét idejű jelek csak a [math]k \in \mathbb{Z}[/math] egész számok helyén értelmezettek.
Periodicitás
Folytonos időben
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]T \in \mathbb{R}[/math] periódusidő, hogy [math]x(t) = x(t + T)[/math] minden t-re.
Diszkrét időben
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]L \in \mathbb{Z}[/math] periódusidő, hogy [math]x[k] = x[k + L][/math] minden k-ra.
Egyéb osztályozás
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
- Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz - Belépő: [math]x(t) = 0[/math] minden [math]t\lt 0[/math] esetén.
Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
- páros: [math]x(t) = x(-t)[/math] (az y tengelyre szimmetrikus)
- páratlan: [math]x(t) = -x(-t)[/math] (az origóra szimmetrikus)
Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Jelek felírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységimpulzus
[math]\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}[/math]
Egységugrás
[math]\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}[/math]
Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Példa 1
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: [math]\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i][/math] (szerk.: ezt ellenőrizd le!)
Példa 2
Vegyük a következő jelet:
[math]x[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}[/math].
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i][/math].
Itt ugye a [math]\delta[k-i][/math] csak a [math]k = i[/math] esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i][/math].
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak [math]k = i[/math] esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:
[math]x[k]=x[k][/math]
DE!
LTI rendszer válasza
Nevezetes válaszok
- Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: [math]h[k][/math]
- Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:
- [math]y[k] = W\left\{u[k]\right\}[/math]
- [math]y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}[/math]
- mivel ez lineáris rendszer, így: [math]y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}[/math]
- mivel ez idő invariáns rendszer, így: [math]y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i][/math]
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
- egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
- lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
- számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Speciális esetek
Kauzális rendszer, belépő jel esetén
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:
[math]y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i][/math]
Folytonos idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységugrás
[math]\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t\gt 0 \end{cases}[/math]
Megjegyzés: Az [math]\epsilon(0)[/math]-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.
Egységimpulzus
Írjuk fel az [math]\epsilon(t, T)[/math] függvényt a következőképpen:
[math]\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t \gt T \end{cases}[/math]
Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. [math]\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1[/math]
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az [math]\epsilon(t, T)[/math]-ben a T tart nullához.
Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
- [math]\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1[/math]
- [math]\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)[/math]
Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
- [math]\delta(t) = \epsilon'(t)[/math]
- [math]\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau[/math]
LTI rendszer válasza
Nevezetes válaszok
- Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: [math]h(t)[/math]
- Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:
[math]y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau[/math]
A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.
Jelek állapotváltozós leírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Állapotváltozós leírás
Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
- [math]\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \cdot u[k][/math]
- [math]\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \cdot u[k][/math]
Ennek így elsőre semmi értelme, de:
- ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
- ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
- és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.
Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.
Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:
- [math]x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1][/math]
- [math]x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1][/math]
- [math]y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k][/math]
Impulzusválasz állapotváltozós leírásból
Az így felírt rendszer impulzusválasza:
[math]h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})[/math]
Mátrix egyszerű hatványozása
Ebből az [math]\underline{\underline{A}}^{k-1}[/math] kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).
Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz): [math]\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}[/math]
Ahol az egyes [math]\underline{\underline{L_i}}[/math]-k az A mátrix Lagrange mátrixai, míg a [math]\lambda_{i}[/math]-k az A mátrix sajátértékei.
A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk: [math]\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0[/math]
Azaz: [math]((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0[/math]
A Lagrange mátrix pedig általánosságban: [math]\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}[/math] Konkrétabban:
- [math]\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}[/math]
- [math]\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}[/math]
Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}
Folytonos idejű jelek esetén
Impulzusválasz állapotváltozós leírásból
Az így felírt rendszer impulzusválasza:
[math]h(t) = d \cdot \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (\underline{c} \cdot e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} \cdot \underline{B})[/math]
[math]e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} = \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_i \cdot t} \cdot \underline{\underline{L_{i}}}[/math]
