SzabtechZH2Gyakorlo2008Osz

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Gyakorlófeladatok a 2008 őszi 2. ZH-hoz

Megjegyzés: ez még félkész, majd még fogom bővíteni, letisztázni, összerendezni.

1. Egy mintavételes, zárt szabályozási körben az e[k] hibajel az r[k] alapjel és az y[k] szabályozott jellemző különbsége: e[k]=r[k]-y[k]. A hibajel z-transzformáltja [math] E(z)=z^{-1}+0.6z^{-2}+0.2z^{-3} [/math]. Határozza meg és vázolja fel az y[k] kimenőjel időbeli lefolyását a k=0, 1, 2, 3, 4, 5 mintavételi időpillanatokra, ha az alapjel egységsebességugrás függvény.

2. Határozza meg egy matematikailag mintavételezett x(t) időfüggvény Laplace transzformáltját.

10. A [math] P(s)=\frac{4}{1+2s} [/math] átviteli függvényű folytonos szakaszt mereven visszacsatolva mintavételesen szabályozzuk zárt körben. Azt tapasztaljuk, hogy a zárt szabályozási kör a stabilitás határhelyzetében van. Határozza meg a mintavételezési időt.

• A rendszer tehát úgy néz ki, hogy a diszkrét alapjel és a diszkrét kimeneti jel különbsége a diszkrét hibajel. Ezt (mivel nem volt más megadva, ezért nulladrendű tartót, és C(z)=1 szabályozót feltételezve) egy nulladrendű tartó alakítja a rendszer folytonos bemeneti jelévé. A rendszer folytonos kimenőjelét pedig mintavételezve csatoljuk vissza.
• Ismeretes (pl. Feladatok_megoldasok_2ZH.pdf, 6. oldal), hogy a nulladrendű tartóból, [math] P(s)=\frac{K}{1+sT}=\frac{4}{1+2s} [/math] tagból, és mintavevőből álló felnyitott kör átviteli függvénye ([math] T_s [/math] mintavételi idő mellett): [math] L(z)=K\frac{1-e^{-T_s/T}}{z-e^{-T_s/T}}=\frac{4(1-e^{-T_s/2})}{z-e^{-T_s/2}} [/math]
• Innen kiszámítva a lezárt kör átviteli függvényét: [math] \frac{4(1-e^{-T_s/2})}{z-(5e^{-T_s/2}-4)} [/math]
• Ennek egy pólusa van, [math] 5e^{-T_s/2}-4 [/math]. A stabilitás határhelyzetében vagyunk, tehát [math] |5e^{-T_s/2}-4|=1 [/math], mivel valós számokkal dolgozunk, ezért a pólus 1 vagy -1 kell legyen. Mivel [math] T_s > 0 [/math], ezért [math] 5e^{-T_s/2}-4 < 1 [/math], így -1 kell legyen, tehát [math] T_s=-2\ln(\frac{3}{5})=1.021 [/math]

11. Egy [math] P(s)=\frac{1}{s^2+5s+6} [/math] átviteli függvényű folytonos folyamatot merev visszacsatolás mellett egy C(s) soros folytonos kompenzátorral szabályozunk.

• a. Az [math] x_1=y,\, x_2=\dot{x_1} [/math] állapotváltozók bevezetésével írja fel a megadott P(s) folytonos folyamat állapotteres modelljét, majd határozza meg annak a [math] C(s)=K\frac{s+3}{1+sT} [/math] szabályozónak a K és T paraméterét, amely a szakasz állapotteres modelljének a [math] \left[ \begin{array}{rr} 42 & 9 \end{array} \right] [/math] erősítési vektoron keresztül történő negatív állapotvisszacsatolásával ekvivalens karakterisztikus egyenletet biztosítja a zárt körre.
• b. Vázolja fel az a. pontban kapott C(s) szabályozó mellett a rendszer gyökhelygörbéjét.
• c. T=0.2sec esetén határozza meg K azon értékét, amely mellett a zárt rendszer egységugrás alapjelre adott válaszában 15%-os túllendülés lesz megfigyelhető. Határozza meg továbbá, hogy mekkora lesz ebben az esetben a statikus hiba értéke.
• d. Adja meg K>0 maximális értékét, amely mellett a zárt kör stabilis marad.
• a. Áttérve a komplex frekvenciatartományra: ki kell fejeznünk Y(s)-et, [math] sX_1(s) [/math]-et és [math] sX_2(s) [/math]-et [math] X_1(s) [/math], [math] X_2(s) [/math] és U(s) lineáris kombinációjaként (vagyis kifejezzük a kimenetet és az állapotváltozók deriváltját a bemenettel és az állapotváltozókkal). Ismerjük továbbá, hogy [math] Y(s)=X_1(s) [/math], [math] sX_1(s)=X_2(s) [/math] és [math] Y(s)=U(s)\frac{1}{s^2+5s+6} [/math] Innen kifejezhetjük [math] sX_1(s) [/math]-et és [math] sX_2(s) [/math]-et is U(s)-sel: [math] sX_1(s)=U(s)\frac{s}{s^2+5s+6} [/math], [math] sX_2(s)=U(s)\frac{s^2}{s^2+5s+6} [/math] Innen (vagy akár az eredeti egyenletekből) látszik, hogyan lehet Y(s)-et és [math] sX_1(s) [/math]-et előállítani: [math] sX_1(s)=0\cdot X_1(s)+1\cdot X_2(s)+0\cdot U(s) [/math], [math] Y(s)=1\cdot X_1(s)+0\cdot X_2(s)+0\cdot U(s) [/math] Csak [math] sX_2(s)=U(s)\frac{s^2}{s^2+5s+6} [/math]-et kell még kifejezni. [math] sX_2(s) = U(s)\frac{s^2}{s^2+5s+6} = U(s)(1-\frac{5s+6}{s^2+5s+6}) = U(s) - 5U(s)\frac{s}{s^2+5s+6} - 6U(s)\frac{1}{s^2+5s+6} [/math], ezért [math] sX_2(s) = -6\cdot X_1(s)-5\cdot X_2(s)+1\cdot U(s) [/math], tehát az állapotváltozós leírás: [math] \left[ \begin{array}{r} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{array} \right]=A\cdot\left[ \begin{array}{r} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+b\cdot u(t) \]\[ y(t)=c^T\cdot\left[ \begin{array}{r} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right]+d\cdot u(t) [/math], ahol [math] A=\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{array} \right],\; b=\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array} \right],\; c^T=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \end{array} \right],\; d=0[/math]
• Az állapotvisszacsatolással kapott karakterisztikus egyenlet [math] c^T(sI-A+bk^T)^{-1}b [/math] nevezője, vagyis [math] det(sI-A+bk^T)=det\left[ \begin{array}{rr} s & -1 \\ 48 & s+14 \end{array} \right]=s^2+14s+48 [/math] A szabályozóval kapott karakterisztikus egyenlet [math] \frac{P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)} [/math] nevezője, vagyis [math] P(s)C(s)=\frac{K}{(s+2)(1+sT)} [/math] számlálójának és nevezőjének összege, azaz: [math] Ts^2+(1+2T)s+(K+2) [/math]. Ennek a kettőnek nem kell megegyeznie, csak ekvivalensnek lennie, vagyis az egyik legyen a másik konstansszorosa. A négyzetes tag miatt nyilván a második az elsőnek T-szerese, innen 14T=1+2T, 48T=K+2 , így T=1/12, K=2.
• b. Pl. Matlabbal ki lehet rajzoltatni: s=zpk('s'); PC=tf(1/((s+2)*(1+s/12))); rlocus(PC); (azért van K helyett 1, mert pont a visszacsatolt rendszer pólusainak K-tól való függése érdekel minket).
• c. A lezárt kör átviteli függvénye: [math] \frac{P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)}=\frac{K/T}{s^2+(1/T+2)s+(K/T+2/T)}=\frac{5K}{s^2+7s+(5K+10)}=\frac{K_2}{s^2+2\xi\omega_0s+\omega_0^2} [/math], valamint, a maximális túllendülés: [math] 0.15=e^{-\xi\pi/\sqrt{1-\xi^2}} [/math]. Ezek alapján [math] \xi=0.517 [/math], [math] \omega_0=6.77 [/math] és [math] K=7.17 [/math]. A statikus hiba, a végértéktételt alkalmazva az átviteli függvény 1/s-szeresére (az átmeneti függvény Laplace-transzformáltjára), és kivonva a végértéket 1-ből (avagy alkalmazva a nulla integrátoros rendszerre vonatkozó képletet) [math] \frac{1}{K_2/\omega_0^2+1}=0.56 [/math]
• d. A rendszernek két pólusa van, így strukturálisan stabil, bármely pozitív K-ra stabil lesz.

12. Tekintsünk egy folytonos, {A,b,c,d} négyessel definiált állapotteres rendszert u bemenettel, x állapotvektorral és y kimenettel.

• a. Ismertesse az állapotvisszacsatolás Ackermann-féle összefüggését és alkalmazhatóságának feltételét.
• b. Negatív visszacsatolást feltételezve számítsa ki az állapotvisszacsatolás erősítési vektorát, ha [math] A=\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{array} \right],\; b=\left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 1 \end{array} \right] [/math] és a visszacsatolással a zárt rendszer pólusait a [math] p_1=-1,\;p_2=-2 [/math] pozícióba kívánjuk áthelyezni.
• c. Feltételezve, hogy az állapotváltozók nem állnak rendelkezésre a visszacsatolás realizálásához, mutassa meg, hogyan választandók egy [math] \dot{\hat{x}}=F\hat{x}+gy+hu [/math] lineáris becslőhálózat dimenziói és paraméterei azzal a feltétellel, hogy a becslőhálózat (másnéven megfigyelő) [math] \alpha_0(s) [/math] karakterisztikus polinomja adott.
• a. Legyen q(s) a (visszacsatolt) rendszer megkövetelt karakterisztikus polinomja (ennek gyökei az átviteli függvény pólusai). Ahhoz, hogy egy polinom értékét kiszámítsuk egy adott dologra, azt a dolgot csak önmagával és számmal kell tudni szorozni, illetve összeadni. Ezek a műveletek (n*n-es) mátrixokkal is elvégezhetők, ezért van értelme a polinom változója helyére az A mátrixot behelyettesíteni (és ekkor a polinom értéke is egy ugyanakkora mátrix lesz). (Behelyettesítéskor a végén a konstans tagot úgy kell hozzáadni, hogy a megfelelő méretű egységmátrix annyiszorosát adod hozzá.)
• A rendszer irányíthatósági mátrixa a következő: [math] S_C=\left[ \begin{array}{rrrrr} b & Ab & A^2b & \cdots & A^{n-1}b \end{array} \right] [/math]. Vagyis, fogjuk a b (oszlop)vektort, illetve ennek A különböző hatványaival való szorzatát, és ezeket az oszlopokat egymás mellé rakva, csinálunk egy n*n-es mátrixot.
• Ezek felhasználásával, az a [math] k^T [/math] visszacsatoló vektor, aminek hatására a visszacsatolt rendszer karakterisztikus egyenlete q(s) lesz: [math] k^T=\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right]S_C^{-1}s(A) [/math] (vagyis [math] S_C^{-1}s(A) [/math] utolsó sora).
• Az összefüggés akkor és csak akkor alkalmazható, ha [math] S_C [/math] invertálható, vagyis a rangja n, azaz a rendszer teljesen állapotirányítható.

-- G - 2008.12.05.