Szabályozástechnika - Zh konzultáció

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

SzabTech Konzin elhangzott dolgok (ZH)

A bácsi beszélt a Zh menetéről:

• Mindenki az I-ben írja
• Lesz A és B csoport
• Semmi sem használható
• Stb

Majd jöttek a kérdések: Egyrészről voltak elméleti alapokat feszegető kérdések, majd pedig a kiadott mintaZh alapján oldottuk meg a feladatokat.

Elméleti dolgok:

• Mi az az omega ( mint frekvencia )? Mi a fizikai tartalma? (lsd Jelek tk)
  • A W(jω) komplex függvény azt adja meg, hogy a bementetre adott ω frekvenciájú szinusz jel mekkora amplitúdójú szinuszt ad a kimeneten (az abszolút érték az erősítés, a szög pedig a fáziscsúszás).
  • Vágási frekvencia ω_c az a freki, ahol az erősítés 1, azaz |W(jω_c) = 1 = 0dB
  • (Szemléletesen: A szabályozott rendszereknél a vágási frekvenciáig a kimenet pontosan követi a bemenetet, magasabb frekvencián egyre kevésbé. Tehát a vágási frekvencia mutatja a rendszer "sebességét", és kihat még egyéb sok jellemzőre.)
• Mi a fázistartalék, annak fizikai tartalma? ......
  • A vágási frekvencián megvizsgáljuk a fázist. Ennek távolsága a -180°-tól a fázistöbblet.
  • tk114: Nyquist kritérium: ha a felnyitott kör stabilis (nincs pólusa a jobb félsíkon), akkor a zárt rendszer stablitásának feltétele, hogy a Nyquist görbe ne vegye körül a -1 pontot.
  • A tk.120. oldalán lévő nyquist diagram jól szemlélteti a fázistöbblet jelentését. A görbe és az egységkör metszéspontja pontosan W(jω_c), mert az abszolút érték itt 1. A negatí valós tengellyel bezárt szög a fázistöbblet. Ha ez eléri a 0-t, akkor a görbe körülveszi a -1 pontot => labilissá válik a rendszer.
• Mi a ZOH?
  • Nulladrendű tartószerv: egy D/A átalakító, ami jól közelíti az ideális aluláteresztő szűrőt (legalábbis számunkra elég): a mintavételi időpontokban kapott jelet a következő mintavételi időpontig folyamatosan kiadja a kimeneten. Felírtuk az átv. ft-t is: W_ZOH = (1-e^-sT)/s
• Tustin (a legelterjedtebb bilineáris) transzformáció
  • Áttérés a z sík (diszkrét) és a w sík (folytonos) között, így az analóg tervezési módszerket használhatjuk diszkrét idejű rendszereknél.
  • Képlete *s=2/T * (z-1)/(z+1)* visszafelé z=(1+sT/2)/(1-sT/2)
  • Tulajdonságai:

1. 1. 1. az átviteli függvény racionális törtfüggvény marad.
      2. A z sík egységkörének belsejét a w sík bal oldalára képzi le. (Az 1 pont az origóba kerül, a körvonal a komplex tengely lesz)
      3. A diszkrét idejű stabilitási feltétel a z síkon megyegyezik a folytonos idejű stablitiás feltételeivel a w síkon. (Pólusok az egységkör belsejében -> a bal félsíkon)
      4. Az aszimptotikus amplitúdó jelleggörbék alkalmazhatóak.

• DI szabályozó tervezése Tustin trafó segítségével.
  • Ez egy olyan dolog, hogy van egy W(s) szakaszunk FI-ben, vagy D(Z) szakaszunk DI-ben. Ehhez kéne tervezni egy DI szabályozót.
  • Első lépés: w síkra kell áttérni. Ez úgy megy, hogy a W(s)-et először D(z)-vé alakítjuk egy c2dm('ZOH') transzformációval, majd a kapott D(Z)-ből, vagy ha eredetileg az volt megadva, akkor ugye abbol D(w)-t csinálunk a Tustin trafóval. A Tustin képlete: z=(1+w*T/2)/(1-w*T/2) ill w=(2/T)*(z-1)/(z+1). Ezt szépen beírva kapunk egy D(w)-t ami egy "majdnem" folytonos idejű szakasz a w síkon.
  • Ehhez a tanult algoritmust használva kreálunk egy PID szabályozót. Ez lesz Dc(w), ami szintén a w síkon fut. Ehhez ugye kell kb 3 egyenlet és az fsolve:
    • |Dc(j*omegac)*D(j*omegac)-1=0 azaz a vágási frekvencián az erősítés 1.
    • Pi+phi(D0(j*omegac))-phi_t=0 azaz a vágási frekvencia meghatározása
    • Dc(2/T)=Umax azaz az 1(t) gerjesztésre adott válasz esetén a beavatkozó jel maximuma a kezdeti értéknél legyen. Ez az U(0) értékben lesz (U a szabályozó kimenete) az időtartományban. U(0)=Umax. Mindezt átírva a w tartományba kapjuk a Dc(2/T) képletet.
      Megj: itt mutatkozik meg az s és a w síkok közötti eltérés: A tanultak alapján az időtartománybeli u(0) értéket a kezdeti/végérték tétel alapján számoljuk. Legyen a szabályozó bemenete az 1(t) és a kimenete az u(t).
      Ekkor ez az s síkon: lim(s->végtelen)s*U(s)=lim(s * 1/s * Wc(s))=lim(Wc(s)) (1/s a gerjesztés, azaz 1(t) Laplace trf-ja)
      Mindez a w síkon w=2/T értéknél van. ( a w=(2/T)*(z-1)/(z+1) és z->végtelen miatt. ) Azaz nem w->végtelen helyen!!
  • Ezután a Dc(w)-ből a Tustin trafó inverzével egy Dc(Z)-t készítünk, ami a DI szabályozó már.

Bode diagram aszimptotikus közelítése

Mindenkinek fel kell tudni rajzolnia a Bode diagram aszimptotikus közelítését a bácsi szerint.

A Bode diagram igazából két diagram: az amplitúdó menetben W(jω) abszolút értékét ábrázoljuk dB-ben, a fázis menetben pedig W(jω) szögét, fokban. Az x tengelyen ω van, mégpedig logaritmikus skálában. Ezért ω=0 a -∞ és ω=1 az origó.

Az aszimptótikus közelítés lényege, hogy az amplitúdó menet egy több ponton megtört egyeneshez símul hozzá. A töréspontok helyei a zérusok és a pólusok. A pólus -20dB/dekáddal meredekebbé teszi az egyenest, a zérus pedig +20dB/dekáddal lankásabbá teszi.

A kezdeti meredekséget (-∞) az ω=0-ban lévő pólusok száma határozza meg - ez pontosan a típusszám, az integrátor tagok (1/s) száma.

Az egyenes a vízszintes tengelyt az ω=K-ban metszi. (Valaki magyarázza meg!)

Kis frekvenciákon még csupán az 1/s^i -s tagot kell figyelembe venni. Erre felírva a következő képletet kapjuk:
|Wo(jω)||=||K/((jω)^i)||=K/(ω^i) A vízszintes tengelyt (0dB-es tengely) pedig ott metszi, ahol ||Wo(jω_c)=1 (0 dB), azaz K/(ω_c^i)=1 => i. gyök(K)=ω_c. Ezért i=1 típusszámú esetben ω_c=K

Erre oldottuk meg az egyik példát:
A példa kéri, így fel kell írni a felnyitott kör átviteli függvényét. Ez a racionális törtfv, amit a tk 92. old közepén van.
Meg mondtuk, hogy i jelöli a típusszámot, K pedig a körerősítés.
Ezután jött a konkrét példa. Ez ugye Wo(s)=0.1/(s(1+10s))
Ennek láthatóan 2 pólusa van, az s=0 és az s=-0.1
A diagram rajzolás esetén ezeknek az abszolút értéke érdekel minket. Mivel a kör tartalmaz 1 db (i=1) integrátort ( s=0 pólus ) ezért a diagram -20dB/dekád (-i*20) meredekséggel indul (s=0 miatt a -végtelenből a log skálán). Az egyenes a vízszintes tengelyt az ω=K-ban metszi. Itt K=0.1 a körerősítés.
Pólus esetén lefele törik -20dB/dekáddal, Zérus esetén felfele törik a grafikon. Esetünkben s=0.1 pólus, ezért ott a -20dB/dekádról -40-re változik a meredekség. Ahol a grafikon metszi a 0dB-es tengely, az az omegac vágási frekvencia.
Ebből már számítható a fázistartalék (phi-t). Ez ugye: φ_t=180+φ(W0(jω_c))=180-90-arctg(ω_c*10)=45°. (-90 mert integrátor, -arctg(ω₀*10) pedig az 1/(1+10jω) fázisa)

Állapotegyenletek felírása

Volt egy feladat, amiben egy A/s és egy 1/s tag volt sorba kapcsolva. Itt ezen nyílt kör állapotegyenletei voltak a kérdés.

A mátrixos-vektros megadási mód. Itt a konzin ezt úgy csináltuk meg, mint anno jelekből amikor JFH-os felírásokból írtuk fel az ÁE-s felírást. A kimenetekre felvettük a változókat, majd az egyenleteket felírtuk és rendeztük.

Amit tudni kell, hogy a kapott sX1 és sX2 időtartományban a deriválának felel meg.
A kapott alakokból pedig a mátrixok egyért leolvashatóak. Tehát az egyenletek:

• • X2=A/s*U => sX2=A*U
  • X1=1/s*X2 => sX1=X2
  • Y=X1

Ezzel kapcsolatban lényeges tudni, hogy amennyiben adott egy

     c1
  --------- esetén a megoldás az, hogy
   1+c2*s
                          

(c1/c2) -- - - - - - - - - - -- -> (1/s) --- - -- - - - >

            /|\                         |
             |                          |
             |                          |
             - - - -       -(1/c2) <-- -

És így már a fázisváltozók (x1derivált, x2derivált) értékei összegezhetőek a folyamhálózat mentén az x1,x2,u megfelelő szorzói mellett.

Linearizálásos példa

Húh, hát ez amilyen ronda, olyan egyszerű. Ha jól hallottam, akkor ilyent (sőt lényegében ezt) mindenki megcsinálta a gyakon, így ide nem szenvedem be.

Hurwitz kritériumos feladat

Adott egy átv fv: W0(s)=K(1+saT)/(s(1+sT)2)
Ennek kell teljesítenie a stabilitási elvárásokat tetszőleges T>0 és K>0 értékre.
Erre jön az ötlet: Hurwitz kritérium! Felírjuk a KE-t. ez 1+W0(s)=0
Ezt átszorozva, 0-ra rendezve kapunk egy polinom(s)=0 egyenletet. Erre ráhúzzuk a Hurwitz sémát a könyv szerint és máris kész vagyunk. Kaptunk egy halom egyenlőtlenséget, amelyekben felhasználjuk, hogy K>0 és T>0, emiatt a-ra kijön vmi korlát, ami nekünk kell.

-- Zee - 2005.11.15. -- SzaMa - 2005.11.15.