Szabályozástechnika - Alapfogalmak

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Nem tudtam lépést tartani az előadóval, és a könyv bonyolult matematikai jelöléseiben elveszek. (Talán nem vagyok egyedül.) Arra kérem a hozzáértőket, hogy röviden, világosan foglalják össze a lentebb felsoroltakat, hogy könnyebben menjen a tanulás! -- SzaMa - 2005.11.14.

• Átmeneti függvény, karakterisztika, állapotegyenletek, mátrixok stb. jelentése, kapcsolatuk, átszámítás módja
• Szabályozási kör ábrájának értelmezése, kapcsolások matematikai jelentése, nyitott és zárt kör fogalma.
• Pólus és zérus fogalma, mit jelent ez a gyakorlatban?
• Szokásos alaptagok
• stb. stb.

Függvények:

*Nyitott* rendszer átvitele (Hurokátvitel):

[math]L(s) = \displaystyle{\frac{Y(s)}{U(s)}}[/math]

ha polinomok hányadosa:

[math]L(s) = \displaystyle{\frac{P(s)}{Q(s)}}[/math]

*Zárt* rendszer átvitele - negatív visszacsatolásnál:

[math]T(s) = \displaystyle{\frac{L(s)}{1+L(s)}} = \displaystyle{\frac{Y(s)}{U(s)}}[/math]

Karakterisztikus egyenlet:

[math]1 + L(s) = P + Q = 0[/math]

Átviteli fv. számítása állapotteres alakból:

[math]H(s) = c^T(sI-A)^{-1}b[/math]

Visszafelé számítani bonyolultabb, de a megoldott ZH-kban van pár ilyen példa, amik alapján vissza lehet fejteni.

-- tferi - 2010.10.18.

Jelek-Szabtech kéziszótár

Jelek		Szabtech
jelölés	elnevezés	jelölés	elnevezés
δ(t)	Dirac-delta	δ(t)	Dirac-delta
ε(t)	egységugrás	1(t)	egységugrás
h(t)	impulzusválasz	w(t)	súlyfüggvény
g(t)	ugrásválasz	v(t)	átmeneti függvény
H(s)	átviteli függvény	W(s)	átviteli függvény
H(z)	átviteli függvény	D(z)	átviteli függvény

-- Baba - 2005.11.14.

Kapcsolások, felnyitott, zárt kör

Nah, ez itt nagyon pongyola lesz. Vannak rendszerelemek, amik adott bemenő jelre adott kimenetet adnak (súlyfv, átmenetifv). Ezt a jellemzőt jó a Laplace vagy Z transzformáltjával (átviteli fv) jelölni, ugyanis ekkor két egymás utáni (sorba kötött) rendszerelem együttes átviteli fv-e a két fv szorzata. Kettő párhuzamos tag viszont egyszerűen összeadódik, mert szerencsére lineáris a transzformáció. -- SzaMa - 2005.11.17.

Szokásos alaptagok

GYK: tag = összeg részei. Nem keverendő a tényezővel, ami a szorzatalak részeit illeti. Tehát most az átviteli függvényeket részlettörtek összegeként vizsgáljuk

Az analóg (folytonos idejű) szakaszok és szabályozók átviteli függvényét részlettörtekre bontva, a következő szokásos tagok fordulgatnak elő (konstans szorzótól most eltekintve):

• [math]P[/math] Arányos tag: [math]1[/math] , egy egyszerű konstans visszacsatolás (rimembör dö konstans szorzó).
• [math]I[/math] Egyszeresen integráló tag: [math]\frac{1}{s}[/math] (emlékezz, hogy úgy integrálunk egy fv-t, hogy a Laplace trafóját [math]s[/math]-sel osztjuk). Integráló pólus 0-ban.
• [math]I^i[/math] i-szeres integráló tag: [math]\frac{1}{s^i}[/math] . Integráló pólus 0-ban, multiplicitással.
• Egytárolós tag: [math]\frac{1}{1+sT}[/math], a [math]T[/math] neve időállandó, minél kisebb, annál gyorsabban lecsengenek a tranziensek, tehát annál jobban szeretjük egy szabályozókörben. [math]T[/math] legyen pozitív, mert ha negatív, akkor egy pozitív valós pólus van a rendszerben, amitől az instabil lesz. Pólus [math]-\frac{1}{T}[/math]-ben.
• Kéttárolós lengő tag: [math]\frac{1}{1+2\xi Ts+T^{2}s^2}[/math], legyen [math] T\gt 0, 0\lt \xi \lt 1 [/math]; két pólus, amelyek egymás konjugált komplex párjai. Abszolútértékük [math]\omega_0=\frac{1}{T}[/math], a negatív valós tengelytől való szögeltérésük koszinusza [math]\xi [/math] (lásd gyönyörű ábra könyvben vagy füzetben).
• [math]D[/math] Egyszeresen deriváló tag (ideális): [math]s[/math] (emlékezz, hogy úgy deriválunk, hogy a Laplace-transzformáltat [math]s[/math]-sel szorozzuk), a gyakorlatban nem megvalósítható.
• [math]D^i[/math] i-szeresen deriváló tag (ideális): [math]s^i[/math] , a gyakorlatban nem megvalósítható.
• [math]D[/math] Egyszeresen deriváló tag (közelítő): [math]\frac{s}{1+sT_c}[/math], a gyakorlatban így közelítik a deriválótagot; [math]T_c[/math] minél kisebb, annál gyorsabb a pluszként felvett pólus (annál inkább elmegy a valós mínusz végtelen felé), tehát egyre kevésbé baj a szabályozás miatt, hogy felvettünk egy új pólust, ugyanakkor [math]T_c \rightarrow 0[/math] esetén az ideális deriválót is közelíti a fenti képlet. A közelítés átka miatt pólus [math]\frac{-1}{T_c}[/math]-ben.

Például ha egy szabályozó tagjai PID , akkor így néz ki: [math]A_p (1 + \frac{1}{sT_i} + \frac{sT_d}{1+sT_c} )[/math] , ahol Ap az arányos erősítési állandó, Ti az integrátor, [math]T_d[/math] a derivátor időállandója, és [math]T_c[/math] (vagy [math]T[/math]) a közelítő deriváló hatás miatt bejövő, nagyon gyors pólus kicsi időállandója.

-- Baba - 2005.11.14.

Stabilitási kritériumok

A Nyquist és Bode feltételeknél a felnyitott kör W₀ átviteli függvényét vizsgáljuk, és ebből következtetünk a zárt kör stabilitására.

Nyquist

A zárt rendszer aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes NYQUIST diagramja annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a - 1 + 0j pontot az óramutató járásával ellentétes pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma.

Speciális esetben (csak ilyet tanultunk) csak a bal félsíkon vannak pólusok, tehát nem szabad körülvennie a -1 pontot. Matlabban van parancs nyquist rajzolásra, és az direkt jelöli a -1 pontot, és hogy körülveszi-e vagy nem. Az általunk tanult tipikus nyquist ábrák a 120.-121. oldalakon vannak. Észrevehetjük, hogy labilis esetben a valós tengellyel való metszéspontok körbeveszik a -1 pontot, stabil esetben mindegyik -1 és 0 között van. Ezt tudjuk használni, ha kézzel számolunk. Tehát keressük azokat az ω-kat, ahol a W(jω) függvény fázisa -180°. Ha itt az abszolótérték kisebb 1-nél, stabil a rendszer.

Gyakorlati alkalmazás: Az W(jw)-nek (felnyitott kör átviteli függvényébe s=jw-t helyettesítünk) meghatározzuk azon helyeit ahol a képzetes rész nulla. Ezeken a helyeken fogja metszeni a valós tengelyt. Ha ezek nagyobbak mint -1 akkor a rendszer stabil (nem kerülte meg ezt a pontot).

-- Main.SoproniPéter - 2005.11.17.

Bode

Ha átlátod az összefüggést a nyquist és bode között, akkor könnyű eszrevenni, hogy a bode ugyanazt mondja, mint a speciális nyquist kritérium. A vágási frekvencia (erősítés 1), az pontosan a nyqiust és az egységkör metszéspontja. A vágási frekvenciához tartozó fázis pontosan az a szög, ami a 120. oldalon be van jelölve. A fázistartalék azt jelöli, hogy a metszéspont milyen "messze van" az egységkörön a -1 ponttól (mennyivel lehet még elforgatni), tehát a nyílt kör vágási frekvenciánál vett fázistolása + 180°. Ha a fázistartalék 0, vagy negatív, akkor körülvettük a -1 pontot.

A bode csak nagyon spéci esetekben működik:

• csak bal félsíkon (vagy origóban) van pólus
• egyértelműen létezik a vágási frekvencia (tehát a tipikus nyquist ábrát látjuk)

Azért szeretjük a bode kritériumot, mert az aszimptotikus amplitúdó jelleggörbével jól meg tudjuk becsülni a vágási frekvenciát. Ehhez csak a pólusok és zérusok helyét kell ismerni. A vágási frekvenciát pedig be tudjuk helyettesíteni az átviteli függvénybe, hozzáadunk 180°-ot, és meg is van a fázistartalék, abból pedig, hogy stabil-e a rendszer (sőt, ez nagyjából azt is megmondja, hogy mennyire stabil a rendszer, sőt, a túllövést is csökkenti a nagy fázistartalék).

Hurwitz

Ha a zárt kör gyökei a bal félsíkra esnek, akkor stabil a rendszer. A Hurwitz kritérium pont erre ad szükséges és elégséges feltételt a karakterisztikus polinom (lásd fentebb) együtthatói alapján. Lásd 111. oldal

Egyéb

• Merev visszacsatolás
  • Ha egy rendszerben a szabályozó bemenetére a folyamat kimenetének és az alapjelnek a különbségét adjuk, akkor merev a visszacsatolás. Ha a folyamat kimenetét előtte valamilyen módon előfeldolgozzuk, akkor nem. Általában merev visszacsatolás szokott előfordulni ZH- és házipéldákban.
• Tuschák-módszer
  • Akkor használatos, ha egy folytonos idejű folyamathoz diszkrét idejű szabályozót tervezünk. Ekkor a szabályozó kimenete és a folyamat bemenete közt lesz egy diszkrétből folytonosba alakító dolog (pl. egy nulladrendű tartó), a folyamat kimenete és a szabályozó bemenete közt pedig egy folytonosból diszkrétbe alakító (mintavételező). Ha a folyamatot a kimenetén és bemenetén lévő átalakítókkal összefogjuk egy (diszkrét ki- és bemenetű) dobozzá, és ehhez a dobozhoz tervezünk szabályozót, akkor kis frekvenciákon a dolog elég jól közelíti azt, mintha a valódi rendszert szabályoznánk; ez Tuschák módszere a folytonos idejű folyamat diszkrét szabályozásának megtervezéséhez.
• Holtidő beiktatása hurokátviteli fv-be
  • [math]L(s)[/math]-ből csinálunk [math]L(s)e^{-sTd}[/math]-t, előbbi fázistartaléka [math]\varphi_1[/math], utóbbié [math]\varphi_2[/math]
  • [math]L(s)[/math] vágási körfrekvenciája: [math]\omega_c = \frac{\mid \varphi_1-\varphi_2 \mid}{T_d}[/math]

-- SzaMa - 2005.11.17.

Vágási körfrekvencia:

A Nyquist diagram és az egység sugarú kör metszéspontjához tartozó körfrekvencia, jele [math]\omega_c[/math]

Gyökhelygörbe

Definíció: Zárt rendszer pólusainak helye, miközben a rendszer valamelyik paramétere (a leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik.

Abszolútérték feltétel: [math]\mid L(s) \mid = 1[/math]

Érzékenységi fv:

[math]S = \displaystyle{\frac{1}{1+CP}} = \displaystyle{\frac{\Delta T/T}{\Delta P/P}}[/math]

Megmutatja, hogy a szakasz relatív megváltozása mennyire befolyásolja az eredő átviteli függvény relatív megváltozását. Megadja továbbá a szabályozás hibajele és alapjele, vagy a kimenőjel és a kimeneti zavaró jellemző közötti kapcsolatot.

Irányíthatóság:

A rendszer állapotirányítható, ha az állapotvektora az u irányítás hatására tetszőleges [math]x(t_0)[/math] kezdeti állapotból véges idő alatt a tetszőlegesen előírt [math]x(t_v)[/math] állapotba vihető át. Az állapotirányíthatóság KALMAN-féle feltétele: az irányíthatósági mátrix [math]Mc = [ b\;Ab\;...\;A^{n-1}b ][/math] rangja n legyen. Ha diagonális [A] a kanonikus alakban b-nek nem lehet csupa 0 sora.

Youla-paraméter:

Stabilis, szabályos átviteli fv. Def: [math]Q(s) = C(s) / (1 + C(s)P(s))[/math]

• C(s): stabilizáló szabályozó
• P(s): stabilis folyamat átviteli függvénye

Paraméterezés: Ábra hozzá a tk 208. oldalán.

• [math]R_n[/math], [math]R_r[/math] referenciamodellek
• [math]C_{id} = \displaystyle{\frac{Q}{1-QP} = \frac{R_n}{1-R_n}*P^{-1}}[/math] referenciaszabályozó: akkor realizálható, ha [math]R_n[/math] pólustöbblete nagyobb, vagy egyenlő a folyamaténál.

Könyv 212. oldalán kidolgozott feladat van hozzá.

Tartalékok

• Relatív erősítési
  • Értékével megszorozva a körerősítést, a kritikus körerősítést kapjuk meg (Nyquist diagram metszeni fogja a (-1, 0)-t)
  • Jele: g
  • [math]g_m = \displaystyle{\frac{1}{|L(j \omega_{180} )|}}[/math]
    • gm < 1 -> a rszr labilis
    • gm = 1 -> a rszr a stabilistás határán van
    • gm > 1 -> a rszr stabil
  • A struktúrálisan stabilis rendszerek bármekkora hurokerősítés mellett stabilak maradnak.
• Fázis
  • A Nyquist diagram és az egység sugarú kör metszéspontjához húzzunk egyenest az origotól. Az egyenes negatív valós tengellyel bezárt szöge a fázistartalék.
  • jele: [math]\phi_t[/math]
  • [math]\phi_t = 180°+\phi_{\omega_c} = arg( L(j\omega_c ) )+180°[/math]
    • [math]\phi_t \gt 0 [/math] -> a rszr stabil
• Modulus
  • A (-1; 0) középpontú, felnyitott kör Nyquist diagramját érintő kör sugara.
  • [math]\rho = min_w( |L(j\omega) + 1| )[/math]
• Holtidő
  • A holtidőnek azon Td legkisebb értéke, amelyet a nyitott körbe helyezve a zárt rendszer a stabilitás határára kerül.
  • [math]Td_{krit} = \phi_t / \omega_c [/math]
    • [math]Td_{krit} \gt 0 [/math] -> a rszr stabil

-- tferi - 2010.10.17.