Szabályozástechnika - Alapfogalmak

← Vissza az előző oldalra – Szabályozástechnika (info)

Nem tudtam lépést tartani az előadóval, és a könyv bonyolult matematikai jelöléseiben elveszek. (Talán nem vagyok egyedül.) Arra kérem a hozzáértőket, hogy röviden, világosan foglalják össze a lentebb felsoroltakat, hogy könnyebben menjen a tanulás! -- SzaMa - 2005.11.14.

• Átmeneti függvény, karakterisztika, állapotegyenletek, mátrixok stb. jelentése, kapcsolatuk, átszámítás módja
• Szabályozási kör ábrájának értelmezése, kapcsolások matematikai jelentése, nyitott és zárt kör fogalma.
• Pólus és zérus fogalma, mit jelent ez a gyakorlatban?
• Szokásos alaptagok
• stb. stb.

Függvények:

*Nyitott* rendszer átvitele (Hurokátvitel):

[math]L(s) = \displaystyle{\frac{Y(s)}{U(s)}}[/math]

ha polinomok hányadosa:

[math]L(s) = \displaystyle{\frac{P(s)}{Q(s)}}[/math]

*Zárt* rendszer átvitele - negatív visszacsatolásnál:

[math]T(s) = \displaystyle{\frac{L(s)}{1+L(s)}} = \displaystyle{\frac{Y(s)}{U(s)}}[/math]

Karakterisztikus egyenlet:

[math]1 + L(s) = P + Q = 0[/math]

Átviteli fv. számítása állapotteres alakból:

[math]H(s) = c^T(sI-A)^{-1}b[/math]

Visszafelé számítani bonyolultabb, de a megoldott ZH-kban van pár ilyen példa, amik alapján vissza lehet fejteni.

-- tferi - 2010.10.18.

Jelek-Szabtech kéziszótár

Jelek		Szabtech
jelölés	elnevezés	jelölés	elnevezés
δ(t)	Dirac-delta	δ(t)	Dirac-delta
ε(t)	egységugrás	1(t)	egységugrás
h(t)	impulzusválasz	w(t)	súlyfüggvény
g(t)	ugrásválasz	v(t)	átmeneti függvény
H(s)	átviteli függvény	W(s)	átviteli függvény
H(z)	átviteli függvény	D(z)	átviteli függvény

-- Baba - 2005.11.14.

Kapcsolások, felnyitott, zárt kör

Nah, ez itt nagyon pongyola lesz. Vannak rendszerelemek, amik adott bemenő jelre adott kimenetet adnak (súlyfv, átmenetifv). Ezt a jellemzőt jó a Laplace vagy Z transzformáltjával (átviteli fv) jelölni, ugyanis ekkor két egymás utáni (sorba kötött) rendszerelem együttes átviteli fv-e a két fv szorzata. Kettő párhuzamos tag viszont egyszerűen összeadódik, mert szerencsére lineáris a transzformáció. -- SzaMa - 2005.11.17.

Szokásos alaptagok

GYK: tag = összeg részei. Nem keverendő a tényezővel, ami a szorzatalak részeit illeti. Tehát most az átviteli függvényeket részlettörtek összegeként vizsgáljuk

Az analóg (folytonos idejű) szakaszok és szabályozók átviteli függvényét részlettörtekre bontva, a következő szokásos tagok fordulgatnak elő (konstans szorzótól most eltekintve):

• [math]P[/math] Arányos tag: [math]1[/math] , egy egyszerű konstans visszacsatolás (rimembör dö konstans szorzó).
• [math]I[/math] Egyszeresen integráló tag: [math]\frac{1}{s}[/math] (emlékezz, hogy úgy integrálunk egy fv-t, hogy a Laplace trafóját [math]s[/math]-sel osztjuk). Integráló pólus 0-ban.
• [math]I^i[/math] i-szeres integráló tag: [math]\frac{1}{s^i}[/math] . Integráló pólus 0-ban, multiplicitással.
• Egytárolós tag: [math]\frac{1}{1+sT}[/math], a [math]T[/math] neve időállandó, minél kisebb, annál gyorsabban lecsengenek a tranziensek, tehát annál jobban szeretjük egy szabályozókörben. [math]T[/math] legyen pozitív, mert ha negatív, akkor egy pozitív valós pólus van a rendszerben, amitől az instabil lesz. Pólus [math]-\frac{1}{T}[/math]-ben.
• Kéttárolós lengő tag: [math]\frac{1}{1+2\xi Ts+T^{2}s^2}[/math], legyen [math] T\gt 0, 0\lt \xi \lt 1 [/math]; két pólus, amelyek egymás konjugált komplex párjai. Abszolútértékük [math]\omega_0=\frac{1}{T}[/math], a negatív valós tengelytől való szögeltérésük koszinusza [math]\xi [/math] (lásd gyönyörű ábra könyvben vagy füzetben).
• [math]D[/math] Egyszeresen deriváló tag (ideális): [math]s[/math] (emlékezz, hogy úgy deriválunk, hogy a Laplace-transzformáltat [math]s[/math]-sel szorozzuk), a gyakorlatban nem megvalósítható.
• [math]D^i[/math] i-szeresen deriváló tag (ideális): [math]s^i[/math] , a gyakorlatban nem megvalósítható.
• [math]D[/math] Egyszeresen deriváló tag (közelítő): [math]\frac{s}{1+sT_c}[/math], a gyakorlatban így közelítik a deriválótagot; [math]T_c[/math] minél kisebb, annál gyorsabb a pluszként felvett pólus (annál inkább elmegy a valós mínusz végtelen felé), tehát egyre kevésbé baj a szabályozás miatt, hogy felvettünk egy új pólust, ugyanakkor [math]T_c \rightarrow 0[/math] esetén az ideális deriválót is közelíti a fenti képlet. A közelítés átka miatt pólus [math]\frac{-1}{T_c}[/math]-ben.

Például ha egy szabályozó tagjai PID , akkor így néz ki: [math]A_p (1 + \frac{1}{sT_i} + \frac{sT_d}{1+sT_c} )[/math] , ahol Ap az arányos erősítési állandó, Ti az integrátor, [math]T_d[/math] a derivátor időállandója, és [math]T_c[/math] (vagy [math]T[/math]) a közelítő deriváló hatás miatt bejövő, nagyon gyors pólus kicsi időállandója.

-- Baba - 2005.11.14.

Stabilitási kritériumok

A Nyquist és Bode feltételeknél a felnyitott kör W₀ átviteli függvényét vizsgáljuk, és ebből következtetünk a zárt kör stabilitására.

Nyquist

A zárt rendszer aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes NYQUIST diagramja annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a - 1 + 0j pontot az óramutató járásával ellentétes pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma.

Speciális esetben (csak ilyet tanultunk) csak a bal félsíkon vannak pólusok, tehát nem szabad körülvennie a -1 pontot. Matlabban van parancs nyquist rajzolásra, és az direkt jelöli a -1 pontot, és hogy körülveszi-e vagy nem. Az általunk tanult tipikus nyquist ábrák a 120.-121. oldalakon vannak. Észrevehetjük, hogy labilis esetben a valós tengellyel való metszéspontok körbeveszik a -1 pontot, stabil esetben mindegyik -1 és 0 között van. Ezt tudjuk használni, ha kézzel számolunk. Tehát keressük azokat az ω-kat, ahol a W(jω) függvény fázisa -180°. Ha itt az abszolótérték kisebb 1-nél, stabil a rendszer.

Gyakorlati alkalmazás: Az W(jw)-nek (felnyitott kör átviteli függvényébe s=jw-t helyettesítünk) meghatározzuk azon helyeit ahol a képzetes rész nulla. Ezeken a helyeken fogja metszeni a valós tengelyt. Ha ezek nagyobbak mint -1 akkor a rendszer stabil (nem kerülte meg ezt a pontot).

-- Main.SoproniPéter - 2005.11.17.

Bode

Ha átlátod az összefüggést a nyquist és bode között, akkor könnyű eszrevenni, hogy a bode ugyanazt mondja, mint a speciális nyquist kritérium. A vágási frekvencia (erősítés 1), az pontosan a nyqiust és az egységkör metszéspontja. A vágási frekvenciához tartozó fázis pontosan az a szög, ami a 120. oldalon be van jelölve. A fázistartalék azt jelöli, hogy a metszéspont milyen "messze van" az egységkörön a -1 ponttól (mennyivel lehet még elforgatni), tehát a nyílt kör vágási frekvenciánál vett fázistolása + 180°. Ha a fázistartalék 0, vagy negatív, akkor körülvettük a -1 pontot.

A bode csak nagyon spéci esetekben működik:

• csak bal félsíkon (vagy origóban) van pólus
• egyértelműen létezik a vágási frekvencia (tehát a tipikus nyquist ábrát látjuk)

Azért szeretjük a bode kritériumot, mert az aszimptotikus amplitúdó jelleggörbével jól meg tudjuk becsülni a vágási frekvenciát. Ehhez csak a pólusok és zérusok helyét kell ismerni. A vágási frekvenciát pedig be tudjuk helyettesíteni az átviteli függvénybe, hozzáadunk 180°-ot, és meg is van a fázistartalék, abból pedig, hogy stabil-e a rendszer (sőt, ez nagyjából azt is megmondja, hogy mennyire stabil a rendszer, sőt, a túllövést is csökkenti a nagy fázistartalék).

Hurwitz

Ha a zárt kör gyökei a bal félsíkra esnek, akkor stabil a rendszer. A Hurwitz kritérium pont erre ad szükséges és elégséges feltételt a karakterisztikus polinom (lásd fentebb) együtthatói alapján. Lásd 111. oldal

Egyéb

• Merev visszacsatolás
  • Ha egy rendszerben a szabályozó bemenetére a folyamat kimenetének és az alapjelnek a különbségét adjuk, akkor merev a visszacsatolás. Ha a folyamat kimenetét előtte valamilyen módon előfeldolgozzuk, akkor nem. Általában merev visszacsatolás szokott előfordulni ZH- és házipéldákban.
• Tuschák-módszer
  • Akkor használatos, ha egy folytonos idejű folyamathoz diszkrét idejű szabályozót tervezünk. Ekkor a szabályozó kimenete és a folyamat bemenete közt lesz egy diszkrétből folytonosba alakító dolog (pl. egy nulladrendű tartó), a folyamat kimenete és a szabályozó bemenete közt pedig egy folytonosból diszkrétbe alakító (mintavételező). Ha a folyamatot a kimenetén és bemenetén lévő átalakítókkal összefogjuk egy (diszkrét ki- és bemenetű) dobozzá, és ehhez a dobozhoz tervezünk szabályozót, akkor kis frekvenciákon a dolog elég jól közelíti azt, mintha a valódi rendszert szabályoznánk; ez Tuschák módszere a folytonos idejű folyamat diszkrét szabályozásának megtervezéséhez.
• Holtidő beiktatása hurokátviteli fv-be
  • [math]L(s)[/math]-ből csinálunk [math]L(s)e^{-sTd}[/math]-t, előbbi fázistartaléka [math]\varphi_1[/math], utóbbié [math]\varphi_2[/math]
  • [math]L(s)[/math] vágási körfrekvenciája: [math]\omega_c = \frac{\mid \varphi_1-\varphi_2 \mid}{T_d}[/math]

-- SzaMa - 2005.11.17.

Vágási körfrekvencia:

A Nyquist diagram és az egység sugarú kör metszéspontjához tartozó körfrekvencia, jele [math]\omega_c[/math]

Gyökhelygörbe

Definíció: Zárt rendszer pólusainak helye, miközben a rendszer valamelyik paramétere (a leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik.

Abszolútérték feltétel: [math]\mid L(s) \mid = 1[/math]

Érzékenységi fv:

[math]S = \displaystyle{\frac{1}{1+CP}} = \displaystyle{\frac{\Delta T/T}{\Delta P/P}}[/math]

Megmutatja, hogy a szakasz relatív megváltozása mennyire befolyásolja az eredő átviteli függvény relatív megváltozását. Megadja továbbá a szabályozás hibajele és alapjele, vagy a kimenőjel és a kimeneti zavaró jellemző közötti kapcsolatot.

Irányíthatóság:

A rendszer állapotirányítható, ha az állapotvektora az u irányítás hatására tetszőleges [math]x(t_0)[/math] kezdeti állapotból véges idő alatt a tetszőlegesen előírt [math]x(t_v)[/math] állapotba vihető át. Az állapotirányíthatóság KALMAN-féle feltétele: az irányíthatósági mátrix [math]Mc = [ b\;Ab\;...\;A^{n-1}b ][/math] rangja n legyen. Ha diagonális [A] a kanonikus alakban b-nek nem lehet csupa 0 sora.

Youla-paraméter:

Stabilis, szabályos átviteli fv. Def: [math]Q(s) = C(s) / (1 + C(s)P(s))[/math]

• C(s): stabilizáló szabályozó
• P(s): stabilis folyamat átviteli függvénye

Paraméterezés: Ábra hozzá a tk 208. oldalán.

• [math]R_n[/math], [math]R_r[/math] referenciamodellek
• [math]C_{id} = \displaystyle{\frac{Q}{1-QP} = \frac{R_n}{1-R_n}*P^{-1}}[/math] referenciaszabályozó: akkor realizálható, ha [math]R_n[/math] pólustöbblete nagyobb, vagy egyenlő a folyamaténál.

Könyv 212. oldalán kidolgozott feladat van hozzá.

Tartalékok

• Relatív erősítési
  • Értékével megszorozva a körerősítést, a kritikus körerősítést kapjuk meg (Nyquist diagram metszeni fogja a (-1, 0)-t)
  • Jele: g
  • [math]g_m = \displaystyle{\frac{1}{|L(j \omega_{180} )|}}[/math]
    • gm < 1 -> a rszr labilis
    • gm = 1 -> a rszr a stabilistás határán van
    • gm > 1 -> a rszr stabil
  • A struktúrálisan stabilis rendszerek bármekkora hurokerősítés mellett stabilak maradnak.
• Fázis
  • A Nyquist diagram és az egység sugarú kör metszéspontjához húzzunk egyenest az origotól. Az egyenes negatív valós tengellyel bezárt szöge a fázistartalék.
  • jele: [math]\phi_t[/math]
  • [math]\phi_t = 180°+\phi_{\omega_c} = arg( L(j\omega_c ) )+180°[/math]
    • [math]\phi_t \gt 0 [/math] -> a rszr stabil
• Modulus
  • A (-1; 0) középpontú, felnyitott kör Nyquist diagramját érintő kör sugara.
  • [math]\rho = min_w( |L(j\omega) + 1| )[/math]
• Holtidő
  • A holtidőnek azon Td legkisebb értéke, amelyet a nyitott körbe helyezve a zárt rendszer a stabilitás határára kerül.
  • [math]Td_{krit} = \phi_t / \omega_c [/math]
    • [math]Td_{krit} \gt 0 [/math] -> a rszr stabil

-- tferi - 2010.10.17.