„Számítógépes grafika és képfeldolgozás - Vizsga, 2015.01.12.” változatai közötti eltérés
a |
|||
| (7 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
| + | Amennyiben ki tudjátok egészíteni, vagy hibás számolást találtok nyugodtan változtassátok a cikket. | ||
== 1.Feladat == | == 1.Feladat == | ||
=== 1.rész === | === 1.rész === | ||
; Feladat | ; Feladat | ||
| − | + | Adott egy merevtestű madár, amely <math>t=0</math> időpontban az origón megy keresztül <math>\vec{v}</math> sebességgel, <math>t=1</math> időpontban már a <math>\vec{p}</math> pontban található. Pályájának Descartes koordinátái az idő '''polinomfüggvényei'''. Adjon meg egy, a feltételeknek eleget tevő pályát, azaz határozza meg, hol van a madár egy tetszőleges <math>t</math> időpontban és mi a pillanatnyi sebessége. (8 pont) | |
| + | |||
| + | Mi a madár modellezési transzformációja ebben a pillanatban, amely referencia helyzetből ide transzformálja? Feltételezve, hogy a referencia helyzetben a madár súlypontja origóban van, csőre +y, farka -y, háta +z, hasa -z irányba néz, szárnyait az x tengellyel párhuzamosan feszíti ki. (12 pont) | ||
| + | |||
; Megjegyzés | ; Megjegyzés | ||
Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter (<math>v</math> értéke <math>t=1</math> időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben. | Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter (<math>v</math> értéke <math>t=1</math> időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben. | ||
| 43. sor: | 47. sor: | ||
<math>z_m = y_m \times x_m</math> | <math>z_m = y_m \times x_m</math> | ||
| − | Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az x | + | Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az <math>x</math> tengelyt befordítsuk a <math>x_m</math> helyére ( 2 forgatás - <math>\varphi_z</math> és <math>\varphi_y</math>), utána az <math>y</math> tengelyt kell beforgatnunk a <math>y_m</math> helyére ( 1 forgatás - <math>\varphi_x</math> ). Belátható, hogy e két vektorral a <math>z</math> tengely is a helyére kerül |
| − | * A <math>\varphi_z</math>-t hamar kinyerhetjük a <math>x_m</math> | + | * A <math>\varphi_z</math>-t hamar kinyerhetjük a <math>x_m</math>-ben található <math>y</math> értékből: |
<math>\varphi_z'=\sin^{-1}\left( | <math>\varphi_z'=\sin^{-1}\left( | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
| − | 1 | + | 0 & 1 & 0 |
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
\left[{x_m \over |x_m|}\right]\right)</math> | \left[{x_m \over |x_m|}\right]\right)</math> | ||
| 54. sor: | 58. sor: | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
x>0 &= \varphi_z' \\ | x>0 &= \varphi_z' \\ | ||
| − | x \le 0 &= | + | x \le 0 &= \pi-\varphi_z' |
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| − | * | + | * A forgatott <math>x'</math> tengely és az <math>x_m</math> által bezárt szög fogja alkotni a <math>\varphi_y</math>-t: |
| − | <math>\varphi_y'=\cos^{-1}\left({ | + | <math>x'= |
| + | \begin{bmatrix} | ||
| + | \cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\ | ||
| + | \sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 \\ | ||
| + | \end{bmatrix} | ||
| + | \begin{bmatrix} | ||
| + | 1 \\ | ||
| + | 0 \\ | ||
| + | 0 | ||
| + | \end{bmatrix} | ||
| + | = | ||
| + | \begin{bmatrix} | ||
| + | \cos\varphi_z \\ | ||
| + | \sin\varphi_z \\ | ||
| + | 0 | ||
| + | \end{bmatrix} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | <math>\varphi_y'=\cos^{-1}\left({x' \over |x'|} \cdot {x_m \over |x_m|}\right)</math> | ||
<math>\varphi_y | <math>\varphi_y | ||
| 67. sor: | 90. sor: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
| − | * | + | * Hasonlóan az előzőekhez az <math>y'</math> tengelyt ki kell számolni, és az <math>y_m</math>-el bezárt szög lesz a <math>\varphi_x</math>: |
<math>y'= | <math>y'= | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
| 74. sor: | 97. sor: | ||
0 & 0 & 1 \\ | 0 & 0 & 1 \\ | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
| − | |||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
0 \\ | 0 \\ | ||
| 87. sor: | 109. sor: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
| − | + | ||
<math>\varphi_x'=\cos^{-1}\left({y' \over |y'|} \cdot {y_m \over |y_m|}\right)</math> | <math>\varphi_x'=\cos^{-1}\left({y' \over |y'|} \cdot {y_m \over |y_m|}\right)</math> | ||
| 100. sor: | 122. sor: | ||
== 2. feladat == | == 2. feladat == | ||
| − | + | Bizonyítsa be, hogy egy invertálható homogén lineáris tanszformáció a projektív síkot projektív síkra, kvadratikus felületet kvadratikus felületre képez le. (10 pont) | |
A lap jelenlegi, 2015. január 13., 09:32-kori változata
Amennyiben ki tudjátok egészíteni, vagy hibás számolást találtok nyugodtan változtassátok a cikket.
Tartalomjegyzék
1.Feladat
1.rész
- Feladat
Adott egy merevtestű madár, amely [math]t=0[/math] időpontban az origón megy keresztül [math]\vec{v}[/math] sebességgel, [math]t=1[/math] időpontban már a [math]\vec{p}[/math] pontban található. Pályájának Descartes koordinátái az idő polinomfüggvényei. Adjon meg egy, a feltételeknek eleget tevő pályát, azaz határozza meg, hol van a madár egy tetszőleges [math]t[/math] időpontban és mi a pillanatnyi sebessége. (8 pont)
Mi a madár modellezési transzformációja ebben a pillanatban, amely referencia helyzetből ide transzformálja? Feltételezve, hogy a referencia helyzetben a madár súlypontja origóban van, csőre +y, farka -y, háta +z, hasa -z irányba néz, szárnyait az x tengellyel párhuzamosan feszíti ki. (12 pont)
- Megjegyzés
Sajnos a feladatból (számomra) hiányzott egy paraméter ([math]v[/math] értéke [math]t=1[/math] időpontban, vagy, hogy állandó-e a gyorsulás). Amennyiben valaki tud egy jobb, egyértelműbb megoldást, kérem, hogy ossza meg ebben a cikkben.
- Megoldás #1
Feltételezzük, hogy [math]a(t)[/math] állandó ( csak [math]a[/math]-ként hivatkozok rá):
[math]v(t)=at+v[/math]
[math]p(t)={a \over 2}t^2 + vt + \underline{0} = {a \over 2}t^2 + vt[/math]
Ebből következően ha [math]t=1[/math]:
[math]p={a \over 2} + v[/math]
[math]a=2(p-v)[/math]
Tehát:
[math]v(t)=2(p-v)t+v[/math]
[math]p(t)=(p-v)t^2+vt[/math]
2. rész
Amennyiben a madár modelje alapesetben csőrével az +y, farkával a -y, hátával a +z és hasával a -z valamint a szárnyai az x tengelyek felé néz, milyen transzformációkat kell elvégeznünk, hogy megfelelő irányban és pozícióban legyen minden időpillanatban úgy, hogy forduláskor bedől (Frenet keret)
- Megjegyzés
Valószínűleg hibás (sorry). Érdemes átnézni a jegyzeteket (bmeanimr.ppt ~17. dia) és leellenőrizni. Ebből próbáltam én is összerakni. Amennyiben mégis helyes, akkor kéretik törölni ezt a két sort :)
(A [math]{x \over |x|}[/math] kifejezés egyszerűen csak normalizálást jelent.)
- Megoldás
A jegyzetben az alábbi koordinálták vannak:
- Madár csőre: +z tengely
- Madár háta: +y tengely
- Madár szárnyai: x tengely
Ennek köszönhetően fel kell cserélni az egyenletekben a tengelyeket:
[math]y_m = r'(t) = v(t)[/math]
[math]x_m = y_m \times r''(t) = y_m \times a[/math]
[math]z_m = y_m \times x_m[/math]
Ebbe a három vektorba kell forgatni a madarat. Az első cél, hogy az [math]x[/math] tengelyt befordítsuk a [math]x_m[/math] helyére ( 2 forgatás - [math]\varphi_z[/math] és [math]\varphi_y[/math]), utána az [math]y[/math] tengelyt kell beforgatnunk a [math]y_m[/math] helyére ( 1 forgatás - [math]\varphi_x[/math] ). Belátható, hogy e két vektorral a [math]z[/math] tengely is a helyére kerül
- A [math]\varphi_z[/math]-t hamar kinyerhetjük a [math]x_m[/math]-ben található [math]y[/math] értékből:
[math]\varphi_z'=\sin^{-1}\left( \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \left[{x_m \over |x_m|}\right]\right)[/math]
[math]\varphi_z \begin{cases} x\gt 0 &= \varphi_z' \\ x \le 0 &= \pi-\varphi_z' \end{cases} [/math]
- A forgatott [math]x'[/math] tengely és az [math]x_m[/math] által bezárt szög fogja alkotni a [math]\varphi_y[/math]-t:
[math]x'= \begin{bmatrix} \cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\ \sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varphi_z \\ \sin\varphi_z \\ 0 \end{bmatrix} [/math]
[math]\varphi_y'=\cos^{-1}\left({x' \over |x'|} \cdot {x_m \over |x_m|}\right)[/math]
[math]\varphi_y \begin{cases} z\gt 0 &= -\varphi_y' \\ z \le 0 &= \varphi_y' \end{cases} [/math]
- Hasonlóan az előzőekhez az [math]y'[/math] tengelyt ki kell számolni, és az [math]y_m[/math]-el bezárt szög lesz a [math]\varphi_x[/math]:
[math]y'= \begin{bmatrix} \cos\varphi_z & -\sin\varphi_z & 0 \\ \sin\varphi_z & \cos\varphi_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sin\varphi_z \\ \cos\varphi_z \\ 0 \end{bmatrix} [/math]
[math]\varphi_x'=\cos^{-1}\left({y' \over |y'|} \cdot {y_m \over |y_m|}\right)[/math]
[math]\varphi_x \begin{cases} z\gt 0 &= \varphi_x' \\ z \le 0 &= -\varphi_x' \end{cases} [/math]
Ezekkel a szögekkel[math](\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z)[/math] kell forgatni a madarat, és el kell mozdítani [math]p(t)[/math] vektorral
2. feladat
Bizonyítsa be, hogy egy invertálható homogén lineáris tanszformáció a projektív síkot projektív síkra, kvadratikus felületet kvadratikus felületre képez le. (10 pont)
