Rendszeroptimalizálás, 29. tétel

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

!! Rúdszerkezetek, rúderők, merevség, Maxwell-Cremona diagram.

Rúdszerkezet

Adott egy G gráf, csúcsai a csuklók, élei a rudak. Ismert a csuklók helye az n dimenziós térben és a rudak hossza.

A rudak hossza rögzített. Tekinktsünk a csuklók helyére pozíció(idő) függvényként:
(x_i-x_j)²+(y_i-y_j)²=l_ij²
Idő szerint deriválva lineáris egyenletrendszert kapunk:
(x_i-x_j)(x_i'-x_j')+(y_i-y_j)(y_i'-y_j')=0
Pl. egy háromszög merevségi mátrixa 2D-ben: [math] p \overbrace{ \left( \begin{array}{cccccc} x_1-x_2 & x_2-x_1 & 0 & y_1-y_2 & y_2-y_1 & 0 \\ x_1-x_3 & 0 & x_3-x_1 & y_1-y_3 & 0 & y_3-y_1 \\ 0 & x_2-x_3 & x_3-x_2 & 0 & y_2-y_3 & y_3-y_2 \end{array} \right) } ^\text{$R$ merevs\'egi m\'atrix} \left( \begin{array}{c} \mathop{x_1}\limits^. \\ \mathop{x_2}\limits^. \\ \mathop{x_3}\limits^. \\ \mathop{y_1}\limits^. \\ \mathop{y_2}\limits^. \\ \mathop{y_3}\limits^. \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) [/math]

• Def.*: egy 2D rúdszerkezet merev, ha r(R)=2p-3 (3 szabadsági fok megengedett: eltolás 2 koordináta mentén illetve forgatás).
  
• Def.*: egy 3D rúdszerkezet merev, ha r(R)=3p-6
  
• Def.*: egy d dimenziós rúdszerkezet merev, ha

[math] r(R)= dp - \binom{d+1}{2} [/math]

Rúderők, Maxwell-Cremona diagram

• Csak húzó- és nyomóerők léteznek. A vektorokat fel kell bontani rúdirányú erőkre.
• Minden élhez egy erőpár tartozik.
• Az 1 csúcsba futó erők összege 0.
  • Ha az 1 csúcsból induló erővektorokat sorbarakjuk, egy kört alkotnak.
  • A keletkező körök összerakhatók egy gráffá: Maxwell-Cremona diagram.
  • A M-C. diagram az eredeti rúdszerkezet duálisa. Az eredeti rúdszerkezetben meghosszabbítjuk a nyomóerő- és a súlyerővektorokat félegyenessé, az így kapott tartományok lesznek a M-C. diagram csúcsai.

-- Peti - 2007.01.03.