Matematika A4 - 2005/06 ősz 2. ZH forrásának megtekintése

{{Vissza|Matematika A4 - Valószínűségszámítás}}

<div class="noautonum">__TOC__</div>

==1. Feladat: ==

Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

{{Rejtett
|mutatott='''Megoldások'''
|szöveg= 

<math> X: RND1 </math> 

<math> Y: RND2 </math>  

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

* Két eset lehetséges:

<math> X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X </math> 

<math> Y<X-Y<1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X>Y </math> 

* Az első eset - <math> Y>X </math> 

<math> P[(X<Y-X)\cap(Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap(Y<\frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) </math> 

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége). 

* Második eset - <math> X>Y </math> 

A szimmetria miatt az első esetben számított terület <math> x=y </math>  tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: <math> P(...)=2*ter(A) </math> 

}}

==2. Feladat: ==

Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

{{Rejtett
|mutatott='''Megoldások'''
|szöveg= 

<math> X: \sqrt[3]{RND} </math> 

<math> P(A<\sqrt[3]{RND}<B)=P(A^3<RND<B^3)=B^3-A^3=\int_{A}^B 3x^2 \mathrm{d}x </math> 

<math> f(x)=3x^2\;\;\;\;\;0<x<1 </math> 

<math> F(x)=\int_{0}^x 3x^2 \mathrm{d}x=[x^3]_{0}^x\;\;\;\;\;0<x<1 </math> 

* Várható érték = első momentum

<math> E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} </math> 


Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

<math> F(x)=P(X<x)=P(\sqrt[3]{RND}<x)=P(RND<x^3)=x^3\;\;\;\;\;0<x<1 </math> 

<math> f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0<x<1 </math> 

}}

==3. Feladat: ==

Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

{{Rejtett
|mutatott='''Megoldások'''
|szöveg= 

<math> X= </math> ahány balkezes

Binomiális eloszlás

<math> p=0,4 </math> 

<math> n=2400 </math> 

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

<math> m=p*n=960 </math> 

<math> \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=24 </math> 

<math> P\left(0.39<\frac{x}{2400}<0.41\right)=P(936<x<984)= </math> 

<math> = P\left(\frac{936-960}{24}<\frac{x-960}{24}<\frac{984-960}{24}\right)=  </math> 

<math> =  \phi(1)-\phi(-1)=68 \% </math> 

}}

[[Kategória:Villamosmérnök]]