Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

1. Feladat:

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

Megoldás

[math] X: [/math] élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

[math] f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]

[math] F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]

[math] P(x\geq2)=0.2 [/math]

[math] e^{-\lambda 2}=0.2 [/math]

[math] -\lambda 2=ln 0.2 [/math]

[math] \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 [/math]

[math] m=\frac{1}{\lambda} [/math]

[math] 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} [/math]

[math] e^{-0.8x}= \frac{1}{2} [/math]

[math] -0.8x=ln\frac{1}{2} [/math]

[math] x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 [/math]

2. Feladat:

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

Megoldás

[math] \varphi\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] [/math]

[math] X=\sin\varphi [/math]

[math] F(x)=p(X\lt x) [/math]

[math] P(\sin\varphi\lt x)=P(\varphi\lt \arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} [/math]

[math] f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} [/math]

3. Feladat:

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

Megoldás

a, Kérdés:

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

[math] X: RND1^2 [/math]

[math] Y: RND2^3 [/math]

[math] f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

[math] f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]

[math] f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]

[math] P(X\gt Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]

a, Kérdés egyszerűbben

[math] P(RND1^2\gt RND2^3)=P(RND1\gt RND2^{\frac{3}{2}})= [/math]

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

[math] y^{\frac{3}{2}} =x [/math]

vagyis a

[math] y=x^{\frac{2}{3}} [/math]

görbe alatti terület számítására.

[math] =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=\left[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}\right]_{0}^1=\frac{3}{5} [/math]

b, Kérdés:

[math] X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1) [/math]

[math] Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]

[math] Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1)\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]

[math] P(X^2\gt Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}\gt Y)= [/math]

[math] =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= [/math]

[math] =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]