Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

2003/04 ősz 2. ZH

1. Feladat:

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

Megoldás

[math] X: [/math] élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

[math] f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]

[math] F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]

[math] P(x\geq2)=0.2 [/math]

[math] e^{-\lambda 2}=0.2 [/math]

[math] -\lambda 2=ln 0.2 [/math]

[math] \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 [/math]

[math] m=\frac{1}{\lambda} [/math]

[math] 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} [/math]

[math] e^{-0.8x}= \frac{1}{2} [/math]

[math] -0.8x=ln\frac{1}{2} [/math]

[math] x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 [/math]

2. Feladat:

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

Megoldás

[math] \varphi[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [/math]

[math] X=\sin\varphi [/math]

[math] F(x)=p(X\lt x) [/math]

[math] P(\sin\varphi\lt x)=P(\varphi\lt \arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} [/math]

[math] f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} [/math]

3. Feladat:

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

Megoldás

a) Kérdés

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

[math] X: RND1^2 [/math]

[math] Y: RND2^3 [/math]

[math] f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

[math] f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]

[math] f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]

[math] P(X\gt Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]

a) Kérdés egyszerűbben

[math] P(RND1^2\gt RND2^3)=P(RND1\gt RND2^{\frac{3}{2}})= [/math]

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

[math] y^{\frac{3}{2}} =x [/math]

vagyis a

[math] y=x^{\frac{2}{3}} [/math]

görbe alatti terület számítására.

[math] =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} [/math]

b) Kérdés

[math] X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1) [/math]

[math] Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]

[math] Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1)\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]

[math] P(X^2\gt Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}\gt Y)= [/math]

[math] =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= [/math]

[math] =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]

2005/06 ősz 2. ZH

1. Feladat:

Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

Megoldások

[math] X: RND1 [/math]

[math] Y: RND2 [/math]

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

• Két eset lehetséges:

[math] X\lt Y-X\lt 1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y\gt X [/math]

[math] Y\lt X-Y\lt 1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X\gt Y [/math]

• Az első eset - [math] Y\gt X [/math]

[math] P[(X\lt Y-X)\cap(Y-X\lt 1-Y)]=P[(Y\gt 2X)\cap(Y\lt \frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) [/math]

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).

• Második eset - [math] X\gt Y [/math]

A szimmetria miatt az első esetben számított terület [math] x=y [/math] tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: [math] P(...)=2*ter(A) [/math]

2. Feladat:

Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

Megoldások

[math] X: \sqrt[3]{RND} [/math]

[math] P(A\lt \sqrt[3]{RND}\lt B)=P(A^3\lt RND\lt B^3)=B^3-A^3=\int_{A}^B 3x^2 \mathrm{d}x [/math]

[math] f(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

[math] F(x)=\int_{0}^x 3x^2 \mathrm{d}x=[x^3]_{0}^x\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

• Várható érték = első momentum

[math] E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} [/math]

Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

[math] F(x)=P(X\lt x)=P(\sqrt[3]{RND}\lt x)=P(RND\lt x^3)=x^3\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

[math] f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]

3. Feladat:

Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

Megoldások

[math] X= [/math] ahány balkezes

Binomiális eloszlás

[math] p=0,4 [/math]

[math] n=2400 [/math]

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

[math] m=p*n=960 [/math]

[math] \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=24 [/math]

[math] P(0.39\lt \frac{x}{2400}\lt 0.41)=P(936\lt x\lt 984)= [/math]

[math] = P(\frac{936-960}{24}\lt \frac{x-960}{24}\lt \frac{984-960}{24})= [/math]

[math] = \phi(1)-\phi(-1)=68 \% [/math]