„Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH” változatai közötti eltérés
a (David14 átnevezte a(z) A4 régi zh-k megoldásokkal lapot a következő névre: Matematika A4 - Régi ZH sorok megoldásokkal) |
a |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | + | ==2003/2004 ősz 2. ZH== | |
− | + | #Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el? | |
+ | #Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét! | ||
+ | #Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk? | ||
+ | ==2003/2004 ősz 2. ZH megoldások== | ||
+ | ===1. Feladat=== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<math> X: </math> élettartam | <math> X: </math> élettartam | ||
55. sor: | 23. sor: | ||
<math> -\lambda 2=ln 0.2 </math> | <math> -\lambda 2=ln 0.2 </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 </math> |
− | \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 | ||
− | |||
− | <math> | + | :::<math> m=\frac{1}{\lambda} </math> |
− | m=\frac{1}{\lambda} | ||
− | |||
<math> 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} </math> | <math> 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} </math> | ||
69. sor: | 33. sor: | ||
<math> -0.8x=ln\frac{1}{2} </math> | <math> -0.8x=ln\frac{1}{2} </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 </math> |
− | x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 | ||
− | |||
− | + | ===2. Feladat=== | |
− | |||
<math> \varphi[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] </math> | <math> \varphi[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> X=\sin\varphi </math> |
− | X=\sin\varphi | ||
− | |||
<math> F(x)=p(X<x) </math> | <math> F(x)=p(X<x) </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> P(\sin\varphi<x)=P(\varphi<\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} </math> |
− | P(\sin\varphi<x)=P(\varphi<\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} | ||
− | |||
− | <math> | + | :::<math> f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} </math> |
− | f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} | ||
− | |||
+ | ===3. Feladat=== | ||
+ | ====a) Kérdés==== | ||
− | + | Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<math> X: RND1^2 </math> | <math> X: RND1^2 </math> | ||
105. sor: | 57. sor: | ||
<math> Y: RND2^3 </math> | <math> Y: RND2^3 </math> | ||
+ | :::<math> f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0<x<1 </math> | ||
+ | :::<math> f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<y<1 </math> | ||
− | <math> | + | :::<math> f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<x<1\;\;\;\;\;0<y<1 </math> |
− | f1(x)=\frac{1}{ | ||
− | \ | ||
− | <math> | + | ::: <math> P(X>Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x </math> |
− | |||
− | \ | ||
− | + | ====a) Kérdés egyszerűbben==== | |
− | |||
− | |||
− | <math> | + | :::<math> P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= </math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= | ||
− | |||
Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a | Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a | ||
− | <math> | + | :::<math> y^{\frac{3}{2}} =x </math> |
− | y^{\frac{3}{2}} =x | ||
− | |||
vagyis a | vagyis a | ||
− | <math> | + | :::<math> y=x^{\frac{2}{3}} </math> |
− | y=x^{\frac{2}{3}} | ||
− | |||
görbe alatti terület számítására. | görbe alatti terület számítására. | ||
− | <math> | + | :::<math> =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} </math> |
− | =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | b | + | ====b) Kérdés==== |
<math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math> | <math> X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1) </math> | ||
158. sor: | 87. sor: | ||
<math> Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1) </math> | <math> Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1) </math> | ||
+ | :::<math> Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0<x<1)\;\;\;\;\;(0<y<1) </math> | ||
− | + | :::<math> P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)= </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math> | ||
− | P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | :::<math> =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= </math> | ||
+ | :::<math> =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x </math> | ||
− | + | ==2005/2006 ősz 2. ZH== | |
− | + | #Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak? | |
+ | #Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét! | ||
+ | #Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.) | ||
− | == | + | ==2005/2006 ősz 2. ZH megoldások== |
+ | ===1. Feladat === | ||
<math> X: RND1 </math> | <math> X: RND1 </math> | ||
198. sor: | 111. sor: | ||
valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek | valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek | ||
− | * Két eset lehetséges | + | * Két eset lehetséges: |
+ | |||
<math> X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X </math> | <math> X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X </math> | ||
204. sor: | 118. sor: | ||
* Az első eset - <math> Y>X </math> | * Az első eset - <math> Y>X </math> | ||
− | |||
− | |||
<math> P[(X<Y-X)\cap(Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap(Y<\frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) </math> | <math> P[(X<Y-X)\cap(Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap(Y<\frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) </math> | ||
215. sor: | 127. sor: | ||
A szimmetria miatt az első esetben számított terület <math> x=y </math> tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak. | A szimmetria miatt az első esetben számított terület <math> x=y </math> tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak. | ||
− | Teljes megoldás: | + | Teljes megoldás: <math> P(...)=2*ter(A) </math> |
− | <math> P(...)=2*ter(A) </math> | + | |
− | + | ===2. Feladat=== | |
− | |||
<math> X: \sqrt[3]{RND} </math> | <math> X: \sqrt[3]{RND} </math> | ||
231. sor: | 142. sor: | ||
<math> E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} </math> | <math> E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} </math> | ||
− | + | ||
+ | |||
Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez: | Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez: | ||
237. sor: | 149. sor: | ||
<math> f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0<x<1 </math> | <math> f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0<x<1 </math> | ||
− | + | ||
− | + | ===3. Feladat=== | |
<math> X= </math> ahány balkezes | <math> X= </math> ahány balkezes |
A lap 2013. február 23., 23:55-kori változata
Tartalomjegyzék
2003/2004 ősz 2. ZH
- Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?
- Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!
- Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?
2003/2004 ősz 2. ZH megoldások
1. Feladat
[math] X: [/math] élettartam
Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.
[math] f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]
[math] F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq0 [/math]
[math] P(x\geq2)=0.2 [/math]
[math] e^{-\lambda 2}=0.2 [/math]
[math] -\lambda 2=ln 0.2 [/math]
- [math] \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 [/math]
- [math] m=\frac{1}{\lambda} [/math]
[math] 1-e^{-0.8x}=\frac{1}{2} [/math]
[math] e^{-0.8x}= \frac{1}{2} [/math]
[math] -0.8x=ln\frac{1}{2} [/math]
- [math] x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 [/math]
2. Feladat
[math] \varphi[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [/math]
- [math] X=\sin\varphi [/math]
[math] F(x)=p(X\lt x) [/math]
- [math] P(\sin\varphi\lt x)=P(\varphi\lt \arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} [/math]
- [math] f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} [/math]
3. Feladat
a) Kérdés
Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.
[math] X: RND1^2 [/math]
[math] Y: RND2^3 [/math]
- [math] f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
- [math] f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]
- [math] f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1\;\;\;\;\;0\lt y\lt 1 [/math]
- [math] P(X\gt Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]
a) Kérdés egyszerűbben
- [math] P(RND1^2\gt RND2^3)=P(RND1\gt RND2^{\frac{3}{2}})= [/math]
Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a
- [math] y^{\frac{3}{2}} =x [/math]
vagyis a
- [math] y=x^{\frac{2}{3}} [/math]
görbe alatti terület számítására.
- [math] =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} [/math]
b) Kérdés
[math] X: f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1) [/math]
[math] Y: f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]
- [math] Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0\lt x\lt 1)\;\;\;\;\;(0\lt y\lt 1) [/math]
- [math] P(X^2\gt Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}\gt Y)= [/math]
- [math] =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= [/math]
- [math] =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x [/math]
2005/2006 ősz 2. ZH
- Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?
- Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!
- Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)
2005/2006 ősz 2. ZH megoldások
1. Feladat
[math] X: RND1 [/math]
[math] Y: RND2 [/math]
valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek
- Két eset lehetséges:
[math] X\lt Y-X\lt 1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y\gt X [/math]
[math] Y\lt X-Y\lt 1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X\gt Y [/math]
- Az első eset - [math] Y\gt X [/math]
[math] P[(X\lt Y-X)\cap(Y-X\lt 1-Y)]=P[(Y\gt 2X)\cap(Y\lt \frac{X}{2}+\frac{1}{2})]=ter(A) [/math]
Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).
- Második eset - [math] X\gt Y [/math]
A szimmetria miatt az első esetben számított terület [math] x=y [/math] tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.
Teljes megoldás: [math] P(...)=2*ter(A) [/math]
2. Feladat
[math] X: \sqrt[3]{RND} [/math]
[math] P(A\lt \sqrt[3]{RND}\lt B)=P(A^3\lt RND\lt B^3)=B^3-A^3=\int_{A}^B 3x^2 \mathrm{d}x [/math]
[math] f(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
[math] F(x)=\int_{0}^x 3x^2 \mathrm{d}x=[x^3]_{0}^x\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
- Várható érték = első momentum
[math] E(x)=\int_{0}^1 x*3x^2 \mathrm{d}x=\frac{3}{4} [/math]
Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:
[math] F(x)=P(X\lt x)=P(\sqrt[3]{RND}\lt x)=P(RND\lt x^3)=x^3\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
[math] f(x)=F'(x)=3x^2\;\;\;\;\;0\lt x\lt 1 [/math]
3. Feladat
[math] X= [/math] ahány balkezes
Binomiális eloszlás
[math] p=0,4 [/math]
[math] n=2400 [/math]
Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.
[math] m=p*n=960 [/math]
[math] \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=24 [/math]
[math] P(0.39\lt \frac{x}{2400}\lt 0.41)=P(936\lt x\lt 984)= [/math]
[math] = P(\frac{936-960}{24}\lt \frac{x-960}{24}\lt \frac{984-960}{24})= [/math]
[math] = \phi(1)-\phi(-1)=68 \% [/math]