Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02.

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

2006.06.02. Matematika B3# (Andai Attila)

Feladatok

1. feladat

Oldja meg a komplex számok körében a [math]\sinh z = i [/math] egyenletet. (15p) megoldás

2. feladat

Mutassa meg, hogy az [math] u(x,y) = e^{-y}\sin x [/math] függvény harmónikus , és keresse meg azt a [math]v(x,y)[/math] harmonikus társat, amelynél az [math] f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)[/math] függvényre [math]f(0)=0[/math] teljesül. (15p) megoldás

3. feladat

Tekintsük a [math]V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}[/math] térrészt és az [math]f=(x,y,z) = xy^2z[/math] függvényt. Számolja ki a [math] \int\limits_{V} f [/math] térfogati integrált (20p) megoldás

4. feladat

Oldja meg az [math] y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = 1 + e^{ - x} [/math] differenciálegyenletet. (15p) megoldás

5. feladat

A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az [math]f(z) = \bar z z^2[/math] függvény ? (15p) megoldás

6. feladat

Oldja meg az [math] \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. [/math] differenciálegyenlet-rendszert az [math]x_1 (0) = 1,x_2 (0) = 0[/math] kezdeti feltételek mellett. (20p)

megoldás

1. ToMegoldas1

Megoldások

1. feladat megoldása

[math]\sinh z = i[/math]
[math]\sinh z = \sinh{x} \cos{y} + \j \cosh{c} \sin{y} = \j[/math]
Ebből következik:

• [math]\sinh{x} \cos{y} = 0[/math], ami [math]x = 0[/math] vagy [math]y = \frac{\pi}{2} + k2\pi[/math] számpárokra teljesül
• [math]\cosh{x} \sin{y} = 1[/math], ami szintén a fenti számpárokra teljesül

tehát [math]z= 0 + \j (\frac{\pi}{2} + k2\pi), k\in\mathbb{Z}[/math].

1. ToMegoldas2

2. feladat megoldása

...

1. ToMegoldas3

3. feladat megoldása

A [math]V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}[/math] térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva: [math] V = \left\{ {(r,\varphi ,\vartheta ) \in \mathbb{R}^3 |0 \leqslant r \leqslant 3,0\leqslant \varphi \leqslant \pi,0 \leqslant \vartheta \leqslant \frac{\pi }{2}} \right\} [/math]

Az [math]f[/math] függvény gömbi koordinátákkal: [math] f(x,y,z) = xy^2 z = (r\sin \vartheta \cos \varphi )(r\sin \vartheta \sin \varphi )^2 (r\cos \vartheta ) [/math]

ezzel a térrészen vett integrál:

[math] \begin{gathered} \int\limits_V f = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_{\varphi = 0}^\pi {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi \cdot d\varphi } d\vartheta dr} } \hfill \\ = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }} {3}} \right]_{\varphi = 0}^\pi d\vartheta dr} } = 0 \hfill \\ \end{gathered} [/math]

1. ToMegoldas3

3. feladat megoldása

...

1. ToMegoldas4

4. feladat megoldása

Először a tekintsük a homogén egyenletet:

[math]y'' + 3y' + 2y = 0[/math]

A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:

[math]m^{2} + 3m + 2 = 0[/math]

[math](m+1)(m+2)=0 \rightarrow m_{1}=-1; m_{2}=-2[/math]

Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:

[math]y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}[/math]

Tekintsük most az inhomogén egyenletet. Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag, a megoldást a következő formában kell keresnünk:

[math]y(x)=Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D[/math]

A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása. Fejezzük ki y'-t és y-t:

[math]y'=-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2Ce^{-2x}[/math]

[math]y"=Axe^{-x}-2*Ae^{-x}+4Ce^{-2x}[/math]

Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!

[math][Axe^{-x}-2Ae^{-x}+4Ce^{-2x}]+3[-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2*Ce^{-2x}] +2[Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D]=1+e^{-x}[/math]

összevonva az azonos kitevőjű tagokat:

[math]2D+Ae^{-x} = 1+e^{-x}[/math]

d/dx:

[math]-Ae^{-x}=-e^{-x} \rightarrow A=1[/math]

x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:

[math]2D=1 \rightarrow D=1/2[/math]

Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

[math]y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5[/math]

Bugok, észrevételek: ruster@sch.bme.hu

1. ToMegoldas5

5. feladat megoldása

...

1. ToMegoldas6

6. feladat megoldása

[math] \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. [/math] Az első egyenletetből [math]x_2[/math]:

[math]x_2 = x_1 - \dot x_1[/math] , amiből [math]\dot x_2 = \dot x_1 - \ddot x_1[/math]

így a második egyenlet kifejezhető [math]x_1[/math]-nek és deriváltjainak segítségével.

-- Ger****** - 2006.06.02.