Matematika A3 villamosmérnököknek - Vizsga, 2006.06.02.
Dr. Andai Attila által összeállított feladatsor.
1. feladat
Oldja meg a komplex számok körében a [math]\sinh z = i [/math] egyenletet. (15p)
[math]\sinh z = i[/math]
[math]\sinh z = \sinh{x} \cos{y} + i \cosh{c} \sin{y} = i[/math]
Ebből következik:
- [math]\sinh{x} \cos{y} = 0[/math], ami [math]x = 0[/math] vagy [math]y = \frac{\pi}{2} + k2\pi[/math] számpárokra teljesül
- [math]\cosh{x} \sin{y} = 1[/math], ami szintén a fenti számpárokra teljesül
2. feladat
Mutassa meg, hogy az [math] u(x,y) = e^{-y}\sin x [/math] függvény harmonikus , és keresse meg azt a [math]v(x,y)[/math] harmonikus társat, amelynél az [math] f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)[/math] függvényre [math]f(0)=0[/math] teljesül. (15p)
3. feladat
Tekintsük a [math]V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}[/math] térrészt és az [math]f=(x,y,z) = xy^2z[/math] függvényt. Számolja ki a [math] \int\limits_{V} f [/math] térfogati integrált (20p)
A [math]V = \left\{ {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 |y \geqslant 0,z \geqslant 0,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 9} \right\}[/math] térrész egy 3 sugarú negyed körcikk és belseje. Gömbi koordinátákkal felírva: [math] V = \left\{ {(r,\varphi ,\vartheta ) \in \mathbb{R}^3 |0 \leqslant r \leqslant 3,0\leqslant \varphi \leqslant \pi,0 \leqslant \vartheta \leqslant \frac{\pi }{2}} \right\} [/math]
Az [math]f[/math] függvény gömbi koordinátákkal: [math] f(x,y,z) = xy^2 z = (r\sin \vartheta \cos \varphi )(r\sin \vartheta \sin \varphi )^2 (r\cos \vartheta ) [/math]
ezzel a térrészen vett integrál:
[math] \begin{gathered} \int\limits_V f = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {\int\limits_{\varphi = 0}^\pi {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \sin ^2 \varphi \cos \varphi \cdot d\varphi } d\vartheta dr} } \hfill \\ = \int\limits_{r = 0}^3 {\int\limits_{\vartheta = 0}^{\frac{\pi } {2}} {r^4 \sin ^3 \vartheta \cos \vartheta \left[ {\frac{{\sin ^3 \varphi }} {3}} \right]_{\varphi = 0}^\pi d\vartheta dr} } = 0 \hfill \\ \end{gathered} [/math]4. feladat
Oldja meg az [math] y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = 1 + e^{ - x} [/math] differenciálegyenletet. (15p)
Először a tekintsük a homogén egyenletet:
[math]y'' + 3y' + 2y = 0[/math]
A diffegyenlet karakterisztikus polinomja:
[math]m^{2} + 3m + 2 = 0[/math]
[math](m+1)(m+2)=0 \rightarrow m_{1}=-1; m_{2}=-2[/math]
Ebböl a homogén egyenlet általános megoldása:
[math]y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}[/math]
Tekintsük most az inhomogén egyenletet. Mivel a homogén megoldásban és a gerjesztő függvényben is szerepel e^(-x) alakú tag, a megoldást a következő formában kell keresnünk:
[math]y(x)=Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D[/math]
A feladat tehát az A,B,C,D konstansok meghatározása. Fejezzük ki y'-t és y-t:
[math]y'=-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2Ce^{-2x}[/math]
[math]y"=Axe^{-x}-2*Ae^{-x}+4Ce^{-2x}[/math]
Helyettesítsünk vissza az inhomogén egyenletbe!
[math][Axe^{-x}-2Ae^{-x}+4Ce^{-2x}]+3[-Axe^{-x}+Ae^{-x}-2*Ce^{-2x}] +2[Axe^{-x}+Be^{-x}+Ce^{-2x}+D]=1+e^{-x}[/math]
összevonva az azonos kitevőjű tagokat:
[math]2D+Ae^{-x} = 1+e^{-x}[/math]
d/dx:
[math]-Ae^{-x}=-e^{-x} \rightarrow A=1[/math]
x=0-t behelyettesítve az előző előtti egyenletbe:
[math]2D=1 \rightarrow D=1/2[/math]
Mivel B és C kiesik ezért B,C bármely valós szám lehet.
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
[math]y(x) = xe^{-x}+c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}+0.5[/math]5. feladat
A komplex sík mely pontjaiban differenciálható az [math]f(z) = \bar z z^2[/math] függvény ? (15p)
6. feladat
Oldja meg az [math] \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. [/math] differenciálegyenlet-rendszert az [math]x_1 (0) = 1,x_2 (0) = 0[/math] kezdeti feltételek mellett. (20p)
[math] \left\{ \begin{gathered} \dot x_1 (t) = x_1 (t) - x_2 (t) \hfill \\ \dot x_2 (t) = - 8x_1 (t) + 3x_2 (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. [/math] Az első egyenletetből [math]x_2[/math]:
[math]x_2 = x_1 - \dot x_1[/math] , amiből [math]\dot x_2 = \dot x_1 - \ddot x_1[/math]
így a második egyenlet kifejezhető [math]x_1[/math]-nek és deriváltjainak segítségével.
