Matematika A3 - Vonalmenti integrálás
Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.
Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.
Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót
Tartalomjegyzék
- 1 _(1. Matematika B3, 2005.02.15., 1. lap, Andai Attila)_
- 1.1 *I. Adjuk meg paraméteresen az alábbi görbéket és felületeket.*
- 1.2 II. Mi lesz a [math]\gamma(t) = (t^2 - 2t, 3t - 5, -t^2 - 2)[/math] görbe érintőjének az egyenlete a [math]t_0 = 2[/math] paraméternél?
- 1.3 III. Irjuk fel az alábbi [math]v : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/math] vektormezők deriváltját, ahol [math]a \in \mathbb{R}^3[/math] adott vektor.
- 1.4 IV. Vonalmenti integrálok.
_(1. Matematika B3, 2005.02.15., 1. lap, Andai Attila)_
*I. Adjuk meg paraméteresen az alábbi görbéket és felületeket.*
1. Az [math]y=1[/math] síkban lévő [math](0; 1; 0)[/math] középpontú 2 sugarú körvonal.
- [math]x = 2 \cos t[/math]
- [math]y = 1[/math]
- [math]z = 2 \sin t , 0 \leq t \leq 2\pi[/math]
2. A [math]z = 0[/math] síkban lévő [math](1, 3)[/math] középpontú [math](a, b)[/math] féltengelyű ellipszis [math](a,b \in \mathbb{R}^+)[/math] .
- [math]x = 1 + a\cos t[/math]
- [math]y = 3 + b\sin t[/math] , [math]0\leq t \leq 2 \pi[/math]
- [math]z = 0[/math]
3. A [math]z = x^2 + y^2[/math] és az [math]x + y - z = -4[/math] egyenletű felületek metszetgörbéje.
4. Az [math](1; 2; 3)[/math] középpontú 5 sugarú gömb.
5. Az [math]x^2 + y^2 = 1[/math], [math]z = 0[/math] síkbeli vezérvonalú, [math](0; 0; 2)[/math] középpontú kúpfelület.
6. A [math](t; 2; 5)[/math] vezéregyenesű 3 sugarú henger.
II. Mi lesz a [math]\gamma(t) = (t^2 - 2t, 3t - 5, -t^2 - 2)[/math] görbe érintőjének az egyenlete a [math]t_0 = 2[/math] paraméternél?
III. Irjuk fel az alábbi [math]v : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/math] vektormezők deriváltját, ahol [math]a \in \mathbb{R}^3[/math] adott vektor.
- [math]v(r) = r[/math]
- [math]v(r) = a r^2[/math]
- [math]v(r) = \ln \left| r \right| \cdot r[/math]
- [math]v(r) = \left| r \right| \cdot r[/math]
- [math]v(r) = (ar)r[/math]
- [math]v(r) = a \times r[/math]
IV. Vonalmenti integrálok.
1. Mekkora a [math]v(x, y) = (-y, x)[/math] vektor-vektor függvény A = (0, 1) és B = (1, 0) pontok közötti vonalmenti integrálja, ha A-ból B-be egyenesvonal mentén, illetve, ha az origó középpontú kör negyedíve mentén integrálunk ?
2. Legyen [math]v(x, y, z) = (xy, y^2, xz)[/math] és [math]\gamma (t) = (t, t^2+1; exp(t))[/math], ahol [math]0 \leq t \leq 1[/math]. Határozzuk meg az [math]{\int_{\gamma}}v[/math] integrál értékét.
-- Ger****** - 2006.06.15.
