Matematika A3 - Magasabbrendű differenciálegyenletek

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

%TOC{depth="2"}%

Lineáris, homogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek

Definíció

A [math] \sum_{i=0}^{n} a_i y^{(i)}(x) = a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = 0 [/math] alakú egyenletek, ahol [math] a_i [/math]-k konstansok, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

A megoldás általános alakja

Írjuk fel a karakterisztikus polinomot, ami a következőképpen néz ki:

[math] \sum_{i=0}^{n} a_i \lambda^i = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + ... + a_1 \lambda + a_0 = 0 [/math]

Ekkor a homogén, általános megoldásra a következő állítások igazak:

1. Ha [math] \lambda_i [/math] gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor [math] e^{\lambda_i x} [/math] gyöke a differenciálegyenletnek.
2. Ha az [math] { e^{\lambda_1 x}; e^{\lambda_2 x}; ...; e^{\lambda_n x} } [/math] megoldások, akkor ezek a pontok, mint vektorok, kifeszítik a differenciálegyenlet magterét.
3. A homogén, általános megoldás előáll a következő alakban:

• • Ha a karakterisztikus egyenletnek _n_ darab, különböző [math] \lambda_i [/math] megoldása van, akkor [math] y_{ha}(x) = \sum_{i=1}^n c_i e^{\lambda_i x} = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} + ... + c_n e^{\lambda_n x} [/math]
  • Ha a karakterisztikus egyenletnek [math] \lambda_i [/math] m-szeres multiplicitású gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepelnek a következő tagok: [math] e^{\lambda_i x}; x e^{\lambda_i x}; x^2 e^{\lambda_i x}; ...; x^{m-1} e^{\lambda_n x} [/math]
  • Ha a karakterisztikus egyenletnek [math] \lambda_i = a+jb [/math] komplex gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepel az [math] e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) [/math] tag, valamint szerepelnie kell továbbá a gyökök között [math] \lambda_i [/math] komplex konjugáltjának is.

Lineáris, inhomogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek

Definíció

A [math] \sum_{i=0}^{n} a_i y^{(i)}(x) = a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_0 y(x) = f(x) [/math] alakú egyenletek, ahol [math] a_i [/math]-k konstansok, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

A megoldás általános alakja

Az inhomogén differenciálegyenlet inhomogén, általános megoldása a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege, vagyis:

[math] y_{ia}(x) = y_{ha}(x) + y_{ip}(x) [/math]

Az [math] y_{ha} [/math] megtalálása [math] f(x) = 0 [/math] helyettesítéssel, majd a keletkező homogén egyenlet megoldásával történik. Az [math] y_{ip} [/math] pedig az [math] f(x) [/math] (_"zavarófüggvény"_) alakjában keresendő. Ebben a következő táblázat segít ([math] K [/math] -k és [math] C [/math] -k konstansok):

[math] f(x) [/math]	[math] y_{ip} [/math]
[math] Ke^{\alpha x} [/math]	[math] Ce^{\alpha x} [/math]
[math] Kx^n [/math]	[math] \sum_{i=0}^n C_i x^i [/math]
[math] K_1 \cos(ax) [/math] vagy [math] K_2 \sin(bx) [/math]	[math] C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(bx) [/math]
[math] x^n e^{\alpha x} [/math]	[math] e^{\alpha x} \sum_{i=0}^n C_i x^i [/math]

A táblázat alapján meghatározott [math] y_{ip} [/math] -t helyettesítsük be az eredeti egyenletbe (értelem szerűen az _y_ helyébe), így nyerünk egy olyan egyenletet, amelyből a _C_ konstansok meghatározhatók. A következő példából világosabb lesz, hogy miről is van szó:

Példa

[math] y'' + 5y' + 4y = 3 - 2x - x^2 [/math]

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: [math] \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] \lambda_1 = -4 [/math] [math] \lambda_2 = -1 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] y_{ha}(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-x} [/math]

Az inhomogén, partikuláris megoldás

[math] y_{ip}(x) = Ax^2 + Bx + C [/math] [math] y_{ip}'(x) = 2Ax + B [/math] [math] y_{ip}''(x) = 2A [/math]

Behelyettesítve:

[math] 2A + 5(2A+B) + 4(Ax^2+Bx+C) = 3-2x-x^2 [/math]

Rendezgetés után,

• [math] x^2 [/math] együtthatói: [math] 4A = -1 \Rightarrow A = -\frac{1}{4} [/math]
• [math] x [/math] együtthatói: [math] 10A +4B = -2 \Rightarrow B = \frac{1}{8} [/math]
• Konstans tag: [math] 2A + 5B + 4C = 3 \Rightarrow C = \frac{23}{32} [/math]

Tehát [math] y_{ip}(x) = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{23}{32} [/math]

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

[math] y_{ia}(x) = c_1 e^{-4x} + c_2 e^{-x} -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}x + \frac{23}{32} [/math]

Példa

[math] y'' - 6y' + 13y = x + \sin(3x) [/math]

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: [math] \lambda^2 - 6\lambda + 13 = 0 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] \lambda_1 = 3+j2 [/math] [math] \lambda_2 = 3-j2 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] y_{ha}(x) = e^{3x}(c_1 \cos(2x) + c_2\sin(2x)) [/math]

Az inhomogén, partikuláris megoldás

[math] y_{ip}(x) = Ax + B + C\sin(3x) + D\cos(3x) [/math] [math] y_{ip}'(x) = A + 3C\cos(3x) - 3D\sin(3x) [/math] [math] y_{ip}''(x) = -9C\sin(3x) - 9D\cos(3x) [/math]

A visszahelyettesítést követően [math] A=\frac{1}{13}; B=\frac{6}{169}; C=\frac{1}{85}; D=\frac{9}{170} [/math]. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

[math] y_{ip}(x) = \frac{x}{13} + \frac{6}{169} + \frac{\sin(3x)}{85} + \frac{9\cos(3x)}{170} [/math]

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

[math] y_{ia}(x) = e^{3x}(c_1 \cos(2x) + c_2\sin(2x)) + \frac{x}{13} + \frac{6}{169} + \frac{\sin(3x)}{85} + \frac{9\cos(3x)}{170} [/math]

Rezonancia

Definíció

Ha a homogén, általános megoldás egyik tagja megegyezik az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának egy tagjával.

A megoldás általános alakja

A próbafüggvény megfelelő tagját meg kell szorozni x-szel.

Példa

[math] y'' + 3y' + 2y = e^x + 2e^{3x} [/math]

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: [math] \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] \lambda_1 = 1 [/math] [math] \lambda_2 = 2 [/math] [math] \Downarrow [/math] [math] y_{ha}(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} [/math]

Az inhomogén, partikuláris megoldás

[math] y_{ip}(x) = Ae^x + Be^{3x} [/math]

Vegyük észre, hogy a homogén, általános megoldás és az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának első tagjai rezonálnak egymással! Mi történik, ha nem foglalkozunk a rezonanciával?

[math] y_{ip}(x) = Ae^x + Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}'(x) = Ae^x + 3Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}''(x) = Ae^x + 9Be^{3x} [/math]

Behelyettesítve:

[math] Ae^x + 9Be^{3x} - 3Ae^x - 9Be^{3x} + 2Ae^x + 29Be^{3x} = e^x + 2e^{3x} [/math]

Láthatjuk, hogy a bal oldalon az utolsó tag kivételével mindegyik kiesik, így nincs megoldás. Az inhomogén, partikuláris megoldás meghatározása helyesen:

[math] y_{ip}(x) = Axe^x + Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}'(x) = A(xe^x + e^x) + 3Be^{3x} [/math] [math] y_{ip}''(x) = 2Ae^x + Axe^x + 9Be^{3x} [/math]

A visszahelyettesítést követően [math] A=-1; B=1 [/math]. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

[math] y_{ip}(x) = -xe^x + e^{3x} [/math]

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

[math] y_{ia}(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} -xe^x + e^{3x} [/math]

---

-- Serény György előadásai és Farkas Gergő gyakorlatai alapján írta MAKond - 2011.01.08.