Matematika A3 - Komplex függvények
A lap korábbi változatát látod, amilyen David14 (vitalap | szerkesztései) 2013. február 23., 22:57-kor történt szerkesztése után volt. (David14 átnevezte a(z) Komplex függvények lapot a következő névre: Matematika A3 - Komplex függvények)
Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.
Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.
Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót
- [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{z}{|z|} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{re^{j\varphi}}{r} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} e^{j\varphi} \; \; \nexists [/math] (különböző irányokból az origoba tartva [math] \varphi [/math] más és más)
- [math] \lim_{z \rightarrow j3} \frac{z^2+9}{z-j3} = \lim_{z \rightarrow j3} \frac{(z+j3)(z-j3)}{z-j3} = \lim_{z \rightarrow j3} z+j3 = j6 [/math]
- [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \left( \frac{z}{\overline{z}} - \frac{\overline{z}}{z} \right) = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \frac{z^2 - \overline{z}^2}{|z|^2} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \frac{r^2e^{j2\varphi}-r^2e^{-j2\varphi}}{r^2} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \left( e^{j2\varphi}-e^{-j2\varphi} \right) = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \sin(2\varphi) \; \; \nexists [/math]
- Hol folytonos [math] f(z) = \frac{z}{\overline{z} + z} [/math]? [math] \mathbb{C} \setminus \{ \Re \{z \} = 0 \} [/math], mert folytonos függvényekből folytonosságot megőrző módon van összerakva.
- Hol folytonos [math] f(z) = \frac{\overline{z}^2}{z} \text{, ha } z \neq 0 \text{ es } 0 \text{, ha } z = 0 [/math]? Ha [math] z \neq 0 [/math] akkor folytonos, de mi újság, ha [math] z = 0 [/math]? [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\overline{z}^2}{z} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{r^2e^{-j2\varphi}}{re^{j\varphi}} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} r e^{-j3\varphi} = 0 [/math], tehát ott is folytonos.
- Hol folytonos [math] f(z) = \frac{z+ \overline{z}}{\overline{z}} \text{, ha } z \neq 0 \text{ es } 0 \text{, ha } z = 0 [/math]? Ha [math] z \neq 0 [/math] akkor folytonos, de mi van, ha [math] z = 0 [/math]? [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{z+ \overline{z}}{\overline{z}} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{x+jy + x-jy}{x-jy} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{2x}{x-jy} [/math] Vizsgáljuk meg a határértéket az [math] x=y [/math] egyenes mentén: [math] \frac{2x}{x-jx} = \frac{2}{1-j} \neq 0 \Rightarrow [/math] találtunk egy egyenest, amely mentén nem 0 a határérték, tehát az origoban nem lehet folytonos.
-- Fakras Gergő gyakorlatai alapján írta MAKond - 2011.01.10.
