Matematika A3 - Komplex függvények

1. [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{z}{|z|} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{re^{j\varphi}}{r} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} e^{j\varphi} \; \; \nexists [/math] (különböző irányokból az origoba tartva [math] \varphi [/math] más és más)
2. [math] \lim_{z \rightarrow j3} \frac{z^2+9}{z-j3} = \lim_{z \rightarrow j3} \frac{(z+j3)(z-j3)}{z-j3} = \lim_{z \rightarrow j3} z+j3 = j6 [/math]
3. [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \left( \frac{z}{\overline{z}} - \frac{\overline{z}}{z} \right) = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \frac{z^2 - \overline{z}^2}{|z|^2} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \frac{r^2e^{j2\varphi}-r^2e^{-j2\varphi}}{r^2} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{1}{j2} \left( e^{j2\varphi}-e^{-j2\varphi} \right) = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \sin(2\varphi) \; \; \nexists [/math]
4. Hol folytonos [math] f(z) = \frac{z}{\overline{z} + z} [/math]? [math] \mathbb{C} \setminus \{ \Re \{z \} = 0 \} [/math], mert folytonos függvényekből folytonosságot megőrző módon van összerakva.
5. Hol folytonos [math] f(z) = \frac{\overline{z}^2}{z} \text{, ha } z \neq 0 \text{ es } 0 \text{, ha } z = 0 [/math]? Ha [math] z \neq 0 [/math] akkor folytonos, de mi újság, ha [math] z = 0 [/math]? [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\overline{z}^2}{z} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} \frac{r^2e^{-j2\varphi}}{re^{j\varphi}} = \lim_{r,\varphi \rightarrow 0} r e^{-j3\varphi} = 0 [/math], tehát ott is folytonos.
6. Hol folytonos [math] f(z) = \frac{z+ \overline{z}}{\overline{z}} \text{, ha } z \neq 0 \text{ es } 0 \text{, ha } z = 0 [/math]? Ha [math] z \neq 0 [/math] akkor folytonos, de mi van, ha [math] z = 0 [/math]? [math] \lim_{z \rightarrow 0} \frac{z+ \overline{z}}{\overline{z}} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{x+jy + x-jy}{x-jy} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{2x}{x-jy} [/math] Vizsgáljuk meg a határértéket az [math] x=y [/math] egyenes mentén: [math] \frac{2x}{x-jx} = \frac{2}{1-j} \neq 0 \Rightarrow [/math] találtunk egy egyenest, amely mentén nem 0 a határérték, tehát az origoban nem lehet folytonos.