Matematika A3 - Differenciálegyenletek: osztályozások és definíciók

Definíció

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, mely tartalmaz egy ismeretlen függvényt (szokásosan [math]y(x)[/math]) és annak deriváltjait.

Osztályozások

Közönséges - parciális differenciálegyenletek

Közönséges, ha az ismeretlen függvény egyváltozós, parciális, ha többváltozós.

Példák

Az első egyenlet közönséges, a második parciális.

[math] y'(x) = e^x + x [/math]

[math] \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_1} + x_1 \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_2} = x_1^5 x_2^2 [/math]

Lineáris - nem lineáris differenciálegyenletek

Lineáris, ha nem szerepel az egyenletben a deriváltak szorzata, egyébként nem lineáris.

Példák

Az első egyenlet lineáris, a második nem.

[math] y'(x) = x^2 + 4 [/math]

[math] x_1 \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_1} \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_2} = x_1^2 x_2 [/math]

Homogén - inhomogén differneciálegyenletek

Homogén, ha az egyenlet nem tartalmaz független változót vagy konstans tagot, inhomogén, ha igen.

Példák

Az első egyenlet homogén, a második nem.

[math] x y'(x) - e^x y(x) = 0 [/math]

[math] x y'(x) - e^x y(x) -12 = 0 [/math]

Állandó-, vagy függvényegyütthatós differenciálegyenletek

Állandó együtthatós, ha a deriváltak együtthatói állandók, függvény együtthatós, ha függvények.

Példák

Az első egyenlet állandó-, a második függvény együtthatós.

[math] 4 y'(x) - 2 y(x) = 10 [/math]

[math] x^2 y'(x) - e^{x+1} y(x) - 12 = 0 [/math]

Első-, másod-, n-edrendű differenciálegyenletek

A legnagyobb derivált rendje határozza meg az egyenlet rendjét.

Példa

A fentiek mind elsőrendűek, alább egy harmadrendű.

[math] 4x^2 y'''(x) + 2x y''(x) + y'(x) = 7 [/math]