Matematika A3 - Differenciálegyenletek: osztályozások és definíciók

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

%TOC{depth="3"}%

Definíció

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, mely tartalmaz egy ismeretlen függvényt (szokásosan [math]y(x)[/math]) és annak deriváltjait.

Osztályozások

Közönséges - parciális differenciálegyenletek

Közönséges, ha az ismeretlen függvény egyváltozós, parciális, ha többváltozós.

Példák

Az első egyenlet közönséges, a második parciális.

[math] y'(x) = e^x + x [/math]

[math] \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_1} + x_1 \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_2} = x_1^5 x_2^2 [/math]

Lineáris - nem lineáris differenciálegyenletek

Lineáris, ha nem szerepel az egyenletben a deriváltak szorzata, egyébként nem lineáris.

Példák

Az első egyenlet lineáris, a második nem.

[math] y'(x) = x^2 + 4 [/math]

[math] x_1 \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_1} \frac{\partial y(x_1, x_2)}{\partial x_2} = x_1^2 x_2 [/math]

Homogén - inhomogén differneciálegyenletek

Homogén, ha az egyenlet nem tartalmaz független változót vagy konstans tagot, inhomogén, ha igen.

Példák

Az első egyenlet homogén, a második nem.

[math] x y'(x) - e^x y(x) = 0 [/math]

[math] x y'(x) - e^x y(x) -12 = 0 [/math]

Állandó-, vagy függvényegyütthatós differenciálegyenletek

Állandó együtthatós, ha a deriváltak együtthatói állandók, függvény együtthatós, ha függvények.

Példák

Az első egyenlet állandó-, a második függvény együtthatós.

[math] 4 y'(x) - 2 y(x) = 10 [/math]

[math] x^2 y'(x) - e^{x+1} y(x) - 12 = 0 [/math]

Első-, másod-, n-edrendű differenciálegyenletek

A legnagyobb derivált rendje határozza meg az egyenlet rendjét.

Példa

A fentiek mind elsőrendűek, alább egy harmadrendű.

[math] 4x^2 y'''(x) + 2x y''(x) + y'(x) = 7 [/math]

---

-- Serény György előadásai és Farkas Gergő gyakorlatai alapján írta: MAKond - 2011.01.08.