Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.
Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.
Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.
Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót
Tartalomjegyzék
- 1 Feladatok
- 1.1 1. Legyen [math]\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & a \end{array} \right)[/math] , ahol [math]a \in R [/math]. Határozza meg [math]\underline{\underline{A}}[/math] rangját [math]a[/math] függvényében!
- 1.2 2. Határozza meg [math]R^3[/math]-on a [math]z[/math] tengely körüli [math]+15^\circ[/math]-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!
- 1.3 3. Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?
- 1.4 4. Számítsa ki az [math]\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/math] értékét!
- 1.5 5. Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re
- 1.6 6.
- 1.7 (a) Igaz-e egy tetszőleges [math]n\times n[/math]-es mátrix esetén
- 1.8 (b) Legyen [math]f[/math] tetszőleges kétváltozós függvény, [math]a[/math] a sík tetszőleges pontja és [math]S(a)[/math] az [math]a[/math] pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e
- 1.9 (c) Legyen [math]a_n[/math] > 0 minden [math]n[/math]-re. Igaz-e, hogy
- 2 Megoldások
Feladatok
1. Legyen [math]\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & a \end{array} \right)[/math] , ahol [math]a \in R [/math]. Határozza meg [math]\underline{\underline{A}}[/math] rangját [math]a[/math] függvényében!
2. Határozza meg [math]R^3[/math]-on a [math]z[/math] tengely körüli [math]+15^\circ[/math]-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!
3. Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?
(a) [math]f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)[/math]
(b) [math]f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)[/math]
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!
4. Számítsa ki az [math]\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/math] értékét!
(Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)
5. Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re
(a) [math]f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0[/math]
(b) [math]f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1[/math]
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!
6.
(a) Igaz-e egy tetszőleges [math]n\times n[/math]-es mátrix esetén
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.
(b) Legyen [math]f[/math] tetszőleges kétváltozós függvény, [math]a[/math] a sík tetszőleges pontja és [math]S(a)[/math] az [math]a[/math] pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e
(b1) ha [math]f[/math] parciális deriváltjai folytonosak [math]S(a)[/math]-ban, akkor [math]f[/math] deriválható [math]a[/math]-ban.
(b2) ha [math]a[/math]-ban [math]f[/math] parciális deriváltjai: [math]f_x(a)[/math] és [math]f_y(a)[/math] léteznek, akkor az [math]f[/math] deriváltja [math]grad\,f[/math] is létezik [math]a[/math]-ban és [math]grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))[/math]
(c) Legyen [math]a_n[/math] > 0 minden [math]n[/math]-re. Igaz-e, hogy
(c1) ha [math]\sum(-1)^na_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum a_n[/math] is konvergens.
(c2) ha a [math]\sum a_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.
Megoldások
1.
[math]\underline{\underline{A}}[/math] rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.
[math]det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12[/math]
Ha [math]a \neq -6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} \neq 0[/math], és így a mátrix rangja 3.
Ha [math]a=-6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} = 0[/math], a mátrix ranja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)
2.
A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.
[math]T*\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)[/math]
[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)[/math]
[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)[/math]
[math]F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)[/math]
3.
(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x||, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=||y. Mivel az f(x)=|x függvény nem deriválható x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)
(b)
4.
Az integrálásik határok alapján ábrázoljuk a [math]0\lt y\lt 1[/math], [math]y^2\lt x\lt 1[/math] tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy [math]0\lt x\lt 1[/math], és [math]0\lt y\lt \sqrt{x}[/math] is leírja ezt a tartományt. Így megycserélve az integrálás sorrendjét:
[math]\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x[/math] [math]= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=[/math] [math]\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math] [math]\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math]
(ez [math]f'*f^n[/math] alakú, aminek az integrálja [math]f^{n+1}/(n+1)[/math])
[math]=\frac{1}{4}[\frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2}]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6}[(1+x^2)^{3/2}]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6}[2\sqrt{2}-1]=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}[/math]
5.
6.
(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindekettő egyenlő [math]n[/math]-nel.
(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.
(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.
(b2) Hamis. (nem tudok indoklást) // Ez miért hamis? Szerintem definíció szerint igaz.
(c1) Hamis. Ellenpélda: [math]a_n=\frac{1}{n}[/math].
(c2) Igaz. Bontsuk szét [math]a_n[/math]-t két sorozatra: [math]a_{n1}[/math] a páratlan indexű, [math]a_{n2}[/math] a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindekettő kovergens. Ebből [math]a_{n2}-a_{n1}[/math] is konvergens, tehát [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.
-- r.crusoe - 2008.06.06.
