„Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a (Hryghr átnevezte a(z) Matek A2 vizsga 2008.06.04. lapot a következő névre: Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.)
a
 
(3 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
−
{{GlobalTemplate|Villanyalap|200806042Vizsga}}
+
{{Vissza|Matematika A2a - Vektorfüggvények}}
  
−
{{TODO}}
+
__NOTOC__
  
−
==Feladatok==
+
==1. feladat==
−
 
+
Legyen <math>\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr}
−
=====1. Legyen <math>\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr}
 
 
-2 & -4 & 2 \\
 
-2 & -4 & 2 \\
 
2 & 3 & 2 \\
 
2 & 3 & 2 \\
−
-2 & -2 & a \end{array} \right)</math> , ahol <math>a \in R </math>. Határozza meg <math>\underline{\underline{A}}</math> rangját <math>a</math> függvényében!=====
+
-2 & -2 & a \end{array} \right)</math>, ahol <math>a \in R </math>. Határozza meg <math>\underline{\underline{A}}</math> rangját <math>a</math> függvényében!
−
 
+
{{Rejtett
−
=====2. Határozza meg <math>R^3</math>-on a <math>z</math> tengely körüli <math>+15^\circ</math>-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!=====
+
|mutatott='''Megoldás'''
−
 
+
|szöveg=<math>\underline{\underline{A}}</math> rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.
−
=====3. Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?=====
 
−
 
 
−
'''(a)''' <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)</math>
 
−
 
 
−
'''(b)''' <math>f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)</math>
 
−
 
 
−
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!
 
−
 
 
−
=====4. Számítsa ki az <math>\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> értékét! =====
 
−
(Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)
 
−
 
 
−
=====5. Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re=====
 
−
 
 
−
'''(a)''' <math>f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0</math>
 
−
 
 
−
'''(b)''' <math>f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1</math>
 
−
 
 
−
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!
 
−
 
 
−
=====6.=====
 
−
=====(a) Igaz-e egy tetszőleges <math>n\times n</math>-es mátrix esetén=====
 
−
'''(a1)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
 
−
 
−
'''(a2)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.
 
−
=====(b) Legyen <math>f</math> tetszőleges kétváltozós függvény, <math>a</math> a sík tetszőleges pontja és <math>S(a)</math> az <math>a</math> pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e=====
 
−
'''(b1)''' ha <math>f</math> parciális deriváltjai folytonosak <math>S(a)</math>-ban, akkor <math>f</math> deriválható <math>a</math>-ban.
 
−
 
 
−
'''(b2)''' ha <math>a</math>-ban <math>f</math> parciális deriváltjai: <math>f_x(a)</math> és <math>f_y(a)</math> léteznek, akkor az <math>f</math> deriváltja <math>grad\,f</math> is létezik <math>a</math>-ban és <math>grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))</math>
 
−
 
 
−
=====(c) Legyen <math>a_n</math> > 0  minden <math>n</math>-re. Igaz-e, hogy=====
 
−
'''(c1)''' ha <math>\sum(-1)^na_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum a_n</math> is konvergens.
 
−
 
 
−
'''(c2)''' ha a <math>\sum a_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens.
 
−
 
 
−
==Megoldások==
 
−
 
 
−
=====1.=====
 
−
 
 
−
<math>\underline{\underline{A}}</math> rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.
 
  
 
<math>det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12</math>
 
<math>det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12</math>
56. sor: 16. sor:
 
Ha <math>a \neq -6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} \neq 0</math>, és így a mátrix rangja 3.
 
Ha <math>a \neq -6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} \neq 0</math>, és így a mátrix rangja 3.
  
−
Ha <math>a=-6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} = 0</math>, a mátrix ranja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)
+
Ha <math>a=-6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} = 0</math>, a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)
−
=====2.=====
+
}}
  
−
A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval.
+
==2. feladat==
 +
Határozza meg <math>R^3</math>-on a <math>z</math> tengely körüli <math>+15^\circ</math>-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval.
 
102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T.
 
102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T.
 
Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.
 
Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.
70. sor: 34. sor:
  
 
<math>F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math>
 
<math>F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math>
 +
}}
 +
 +
==3. feladat==
 +
Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?
  
 +
'''(a)''' <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)</math>
  
−
=====3.=====
+
'''(b)''' <math>f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)</math>
  
−
'''(a)'''
+
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!
−
Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x||, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=||y.
+
{{Rejtett
−
Mivel az f(x)=|x függvény nem deriválható x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban.
+
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg='''(a)'''
 +
Az y=0 síkmetszet: f(x,0)={{!}}x{{!}}, az x=0 síkmetszet: f(0,y)={{!}}y{{!}}.
 +
Mivel az f(x)=x{{!}} függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban.
 
(A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)
 
(A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)
  
 
'''(b)'''
 
'''(b)'''
 +
}}
  
 +
==4. feladat==
 +
Számítsa ki az <math>\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a <math>0<y<1</math>, <math>y^2<x<1</math> tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy <math>0<x<1</math>, és <math>0<y<\sqrt{x}</math> is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:
  
−
=====4.=====
 
−
Az integrálásik határok alapján ábrázoljuk a <math>0<y<1</math>, <math>y^2<x<1</math> tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy <math>0<x<1</math>, és <math>0<y<\sqrt{x}</math> is leírja ezt a tartományt. Így megycserélve az integrálás sorrendjét:
 
  
 +
<math>\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x</math> <math>= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=</math> <math>\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=</math> <math>\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=</math>
  
−
<math>\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x</math> <math>= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=</math> <math>\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=</math> <math>\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=</math>  
+
Ez <math>f'*f^n</math> alakú, aminek az integrálja <math>{f^{n+1} \over (n+1)}</math>
 +
 
 +
<math>=\frac{1}{4} \left[ \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2} \right]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6} \left[ (1+x^2)^{{3 \over 2}} \right]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}(2\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}</math>
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
==5. feladat==
 +
Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re
  
−
(ez <math>f'*f^n</math> alakú, aminek az integrálja <math>f^{n+1}/(n+1)</math>)
+
'''(a)''' <math>f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0</math>
  
−
<math>=\frac{1}{4}[\frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2}]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}[(1+x^2)^{3/2}]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}[2\sqrt{2}-1]=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}</math>
+
'''(b)''' <math>f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1</math>
  
 +
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=TODO
 +
}}
  
−
=====5.=====
+
==6. feladat==
 +
'''(a) Igaz-e egy tetszőleges <math>n\times n</math>-es mátrix esetén, hogy'''<br/>
 +
'''(a1)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.<br/>
 +
'''(a2)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.
  
 +
'''(b) Legyen <math>f</math> tetszőleges kétváltozós függvény, <math>a</math> a sík tetszőleges pontja és <math>S(a)</math> az <math>a</math> pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy''''<br/>
 +
'''(b1)''' ha <math>f</math> parciális deriváltjai folytonosak <math>S(a)</math>-ban, akkor <math>f</math> deriválható <math>a</math>-ban.<br/>
 +
'''(b2)''' ha <math>a</math>-ban <math>f</math> parciális deriváltjai: <math>f_x(a)</math> és <math>f_y(a)</math> léteznek, akkor az <math>f</math> deriváltja <math>grad\,f</math> is létezik <math>a</math>-ban és <math>grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))</math>
  
−
=====6.=====
+
'''(c) Legyen <math>a_n</math> > 0  minden <math>n</math>-re. Igaz-e, hogy'''<br/>
−
'''(a1)''' Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindekettő egyenlő <math>n</math>-nel.
+
'''(c1)''' ha <math>\sum(-1)^na_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum a_n</math> is konvergens.<br/>
 +
'''(c2)''' ha a <math>\sum a_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens.
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg='''(a1)''' Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő <math>n</math>-nel.
  
 
'''(a2)''' Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.
 
'''(a2)''' Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.
103. sor: 102. sor:
 
'''(b1)''' Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.
 
'''(b1)''' Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.
  
−
'''(b2)''' Hamis. (nem tudok indoklást) // Ez miért hamis? Szerintem definíció szerint igaz.
+
'''(b2)'''
  
 
'''(c1)''' Hamis. Ellenpélda: <math>a_n=\frac{1}{n}</math>.
 
'''(c1)''' Hamis. Ellenpélda: <math>a_n=\frac{1}{n}</math>.
  
−
'''(c2)''' Igaz. Bontsuk szét <math>a_n</math>-t két sorozatra: <math>a_{n1}</math> a páratlan indexű, <math>a_{n2}</math> a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindekettő kovergens. Ebből <math>a_{n2}-a_{n1}</math> is konvergens, tehát <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens.  
+
'''(c2)''' Igaz. Bontsuk szét <math>a_n</math>-t két sorozatra: <math>a_{n1}</math> a páratlan indexű, <math>a_{n2}</math> a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből <math>a_{n2}-a_{n1}</math> is konvergens, tehát <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens.  
 +
}}
  
−
-- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.06.06.
+
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 17:49-kori változata

← Vissza az előző oldalra – Matematika A2a - Vektorfüggvények


1. feladat

Legyen [math]\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & a \end{array} \right)[/math], ahol [math]a \in R [/math]. Határozza meg [math]\underline{\underline{A}}[/math] rangját [math]a[/math] függvényében!

Megoldás

[math]\underline{\underline{A}}[/math] rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.

[math]det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12[/math]

Ha [math]a \neq -6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} \neq 0[/math], és így a mátrix rangja 3.

Ha [math]a=-6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} = 0[/math], a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)

2. feladat

Határozza meg [math]R^3[/math]-on a [math]z[/math] tengely körüli [math]+15^\circ[/math]-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!

Megoldás

A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.

[math]T*\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)[/math]

[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)[/math]

[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)[/math]

[math]F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)[/math]

3. feladat

Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?

(a) [math]f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)[/math]

(b) [math]f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)[/math]

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!

Megoldás

(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x|, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=|y|. Mivel az f(x)=x| függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)

(b)

4. feladat

Számítsa ki az [math]\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/math] értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)

Megoldás

Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a [math]0\lt y\lt 1[/math], [math]y^2\lt x\lt 1[/math] tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy [math]0\lt x\lt 1[/math], és [math]0\lt y\lt \sqrt{x}[/math] is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:


[math]\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x[/math] [math]= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=[/math] [math]\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math] [math]\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math]

Ez [math]f'*f^n[/math] alakú, aminek az integrálja [math]{f^{n+1} \over (n+1)}[/math]

[math]=\frac{1}{4} \left[ \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2} \right]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6} \left[ (1+x^2)^{{3 \over 2}} \right]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6}(2\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}[/math]

5. feladat

Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re

(a) [math]f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0[/math]

(b) [math]f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1[/math]

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!

Megoldás
TODO

6. feladat

(a) Igaz-e egy tetszőleges [math]n\times n[/math]-es mátrix esetén, hogy
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.

(b) Legyen [math]f[/math] tetszőleges kétváltozós függvény, [math]a[/math] a sík tetszőleges pontja és [math]S(a)[/math] az [math]a[/math] pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy'
(b1) ha [math]f[/math] parciális deriváltjai folytonosak [math]S(a)[/math]-ban, akkor [math]f[/math] deriválható [math]a[/math]-ban.
(b2) ha [math]a[/math]-ban [math]f[/math] parciális deriváltjai: [math]f_x(a)[/math] és [math]f_y(a)[/math] léteznek, akkor az [math]f[/math] deriváltja [math]grad\,f[/math] is létezik [math]a[/math]-ban és [math]grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))[/math]

(c) Legyen [math]a_n[/math] > 0 minden [math]n[/math]-re. Igaz-e, hogy
(c1) ha [math]\sum(-1)^na_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum a_n[/math] is konvergens.
(c2) ha a [math]\sum a_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.

Megoldás

(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő [math]n[/math]-nel.

(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.

(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.

(b2)

(c1) Hamis. Ellenpélda: [math]a_n=\frac{1}{n}[/math].

(c2) Igaz. Bontsuk szét [math]a_n[/math]-t két sorozatra: [math]a_{n1}[/math] a páratlan indexű, [math]a_{n2}[/math] a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből [math]a_{n2}-a_{n1}[/math] is konvergens, tehát [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.
A lap eredeti címe: „https://wiki.sch.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_-_Vektorfüggvények_-_Vizsga,_2008.06.04.&oldid=179583”