Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04. forrásának megtekintése

{{Vissza|Matematika A2a - Vektorfüggvények}}

__NOTOC__

==1. feladat==
Legyen <math>\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr}
-2 & -4 & 2 \\
2 & 3 & 2 \\
-2 & -2 & a \end{array} \right)</math>, ahol <math>a \in R </math>. Határozza meg <math>\underline{\underline{A}}</math> rangját <math>a</math> függvényében!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=<math>\underline{\underline{A}}</math> rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.

<math>det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12</math>

Ha <math>a \neq -6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} \neq 0</math>, és így a mátrix rangja 3.

Ha <math>a=-6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} = 0</math>, a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)
}}

==2. feladat==
Határozza meg <math>R^3</math>-on a <math>z</math> tengely körüli <math>+15^\circ</math>-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval.
102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T.
Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.

<math>T*\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)</math>

<math>T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)</math>

<math>T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)</math>

<math>F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math>
}}

==3. feladat==
Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?

'''(a)''' <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)</math>

'''(b)''' <math>f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)</math>

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg='''(a)'''
Az y=0 síkmetszet: f(x,0)={{!}}x{{!}}, az x=0 síkmetszet: f(0,y)={{!}}y{{!}}.
Mivel az f(x)=x{{!}} függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban.
(A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)

'''(b)'''
}}

==4. feladat==
Számítsa ki az <math>\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a <math>0<y<1</math>, <math>y^2<x<1</math> tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy <math>0<x<1</math>, és <math>0<y<\sqrt{x}</math> is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:


<math>\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x</math> <math>= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=</math> <math>\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=</math> <math>\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=</math> 

Ez <math>f'*f^n</math> alakú, aminek az integrálja <math>{f^{n+1} \over (n+1)}</math>

<math>=\frac{1}{4} \left[ \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2} \right]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6} \left[ (1+x^2)^{{3 \over 2}} \right]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}(2\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}</math>

}}

==5. feladat==
Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re

'''(a)''' <math>f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0</math>

'''(b)''' <math>f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1</math>

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=TODO
}}

==6. feladat==
'''(a) Igaz-e egy tetszőleges <math>n\times n</math>-es mátrix esetén, hogy'''<br/>
'''(a1)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.<br/>
'''(a2)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.

'''(b) Legyen <math>f</math> tetszőleges kétváltozós függvény, <math>a</math> a sík tetszőleges pontja és <math>S(a)</math> az <math>a</math> pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy''''<br/>
'''(b1)''' ha <math>f</math> parciális deriváltjai folytonosak <math>S(a)</math>-ban, akkor <math>f</math> deriválható <math>a</math>-ban.<br/>
'''(b2)''' ha <math>a</math>-ban <math>f</math> parciális deriváltjai: <math>f_x(a)</math> és <math>f_y(a)</math> léteznek, akkor az <math>f</math> deriváltja <math>grad\,f</math> is létezik <math>a</math>-ban és <math>grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))</math>

'''(c) Legyen <math>a_n</math> > 0  minden <math>n</math>-re. Igaz-e, hogy'''<br/>
'''(c1)''' ha <math>\sum(-1)^na_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum a_n</math> is konvergens.<br/>
'''(c2)''' ha a <math>\sum a_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg='''(a1)''' Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő <math>n</math>-nel.

'''(a2)''' Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.

'''(b1)''' Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.

'''(b2)'''

'''(c1)''' Hamis. Ellenpélda: <math>a_n=\frac{1}{n}</math>.

'''(c2)''' Igaz. Bontsuk szét <math>a_n</math>-t két sorozatra: <math>a_{n1}</math> a páratlan indexű, <math>a_{n2}</math> a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből <math>a_{n2}-a_{n1}</math> is konvergens, tehát <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens. 
}}

[[Kategória:Villamosmérnök]]