Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.
1. feladat
Legyen [math]\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & a \end{array} \right)[/math], ahol [math]a \in R [/math]. Határozza meg [math]\underline{\underline{A}}[/math] rangját [math]a[/math] függvényében!
[math]\underline{\underline{A}}[/math] rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.
[math]det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12[/math]
Ha [math]a \neq -6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} \neq 0[/math], és így a mátrix rangja 3.
Ha [math]a=-6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} = 0[/math], a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)2. feladat
Határozza meg [math]R^3[/math]-on a [math]z[/math] tengely körüli [math]+15^\circ[/math]-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!
A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.
[math]T*\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)[/math]
[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)[/math]
[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)[/math]
[math]F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)[/math]3. feladat
Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?
(a) [math]f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)[/math]
(b) [math]f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)[/math]
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!
(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x|, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=|y|. Mivel az f(x)=x| függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)
(b)4. feladat
Számítsa ki az [math]\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/math] értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)
Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a [math]0\lt y\lt 1[/math], [math]y^2\lt x\lt 1[/math] tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy [math]0\lt x\lt 1[/math], és [math]0\lt y\lt \sqrt{x}[/math] is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:
[math]\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x[/math] [math]= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=[/math] [math]\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math] [math]\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math]
Ez [math]f'*f^n[/math] alakú, aminek az integrálja [math]{f^{n+1} \over (n+1)}[/math]
[math]=\frac{1}{4} \left[ \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2} \right]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6} \left[ (1+x^2)^{{3 \over 2}} \right]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6}(2\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}[/math]5. feladat
Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re
(a) [math]f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0[/math]
(b) [math]f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1[/math]
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!
6. feladat
(a) Igaz-e egy tetszőleges [math]n\times n[/math]-es mátrix esetén, hogy
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.
(b) Legyen [math]f[/math] tetszőleges kétváltozós függvény, [math]a[/math] a sík tetszőleges pontja és [math]S(a)[/math] az [math]a[/math] pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy'
(b1) ha [math]f[/math] parciális deriváltjai folytonosak [math]S(a)[/math]-ban, akkor [math]f[/math] deriválható [math]a[/math]-ban.
(b2) ha [math]a[/math]-ban [math]f[/math] parciális deriváltjai: [math]f_x(a)[/math] és [math]f_y(a)[/math] léteznek, akkor az [math]f[/math] deriváltja [math]grad\,f[/math] is létezik [math]a[/math]-ban és [math]grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))[/math]
(c) Legyen [math]a_n[/math] > 0 minden [math]n[/math]-re. Igaz-e, hogy
(c1) ha [math]\sum(-1)^na_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum a_n[/math] is konvergens.
(c2) ha a [math]\sum a_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.
(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő [math]n[/math]-nel.
(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.
(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.
(b2)
(c1) Hamis. Ellenpélda: [math]a_n=\frac{1}{n}[/math].
(c2) Igaz. Bontsuk szét [math]a_n[/math]-t két sorozatra: [math]a_{n1}[/math] a páratlan indexű, [math]a_{n2}[/math] a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből [math]a_{n2}-a_{n1}[/math] is konvergens, tehát [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.
