Matematika A1 - Vizsga: 2007.06.07
1. Feladat
Határozza meg a (0,2,0), (1,0,-1) és (0,-1,2) pontokat tartalmazó sík egyenletét.
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)2. Feladat
Oldja meg a [math]z^2 = \overline{z}^ 2[/math] egyenletet.
[math] z^2 = \overline{z}^2 [/math]
Írjuk ki z-t és z konjugáltat algebrai alakban:
[math] (a+bi)^2 = (a-bi)^2 [/math]
Zárójelek felbontása után:
[math] a^2+2abi-b^2 = a^2-2abi-b^2 [/math]
Kihúzzuk a közös tagokat, osztunk 2i-vel:
[math] ab = -ab [/math]
Ez akkor lehetséges, ha [math] a = 0 \vee b = 0 [/math] és [math]a,b \in \mathbb{R}[/math], az összes ilyen alakú szám megoldás.3. Feladat
Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét:
[math]a, \; a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}[/math]
[math]b, \; b_n=\sqrt[n]{\frac{2n^2-1}{n^2+2}}[/math]
a, Feladat:
[math] a_n = \left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(\frac{n^2+2-2-1}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(\frac{n^2+2}{n^2+2}+\frac{-3}{n^2+2}\right)^{3n^2}=
\left(1-\frac{3}{n^2+2}\right)^{3n^2}[/math]
A nevezőt alakítsuk úgy, hogy hasonlítson a kitevőhöz: [math]\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2} [/math]
Felírjuk a kitevőt úgy, hogy nevezetes határértéket kapjunk, de ekkor persze még osztani is kell, hogy ne legyen csalás!
[math]\frac{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^{3n^2+6}}{\left(1-\frac{9}{3n^2+6}\right)^6} [/math]
Látható, hogy a nevező 1-hez tart, így a határérték:
[math]\underline{\underline{e^{-9} = \frac{1}{e^9}}}[/math]
b, Feladat:
A gyökjel alatt végezzünk algebrai átalakítást:
[math] b_n=\sqrt[n]{2-\frac{5}{n^2+2}} [/math]
Most adjunk alsó és felső becslést a gyökjel alatti sorozatra:
Felső becslésnek tökéletes a 2, hiszen sosem érheti el a gyökjel alatti sorozat, és minden eleme kisebb nála.
Alsó becslésnek vegyük a gyökjel alatti sorozat első elemét, hiszen ha n nő, akkor egyre kisebb számokat vonunk ki a kettőből, tehát szigorúan monoton növekszik a gyökjel alatti sorozat.
[math]2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \lt 2-\frac{5}{n^2+2} \lt 2[/math]
Most alkalmazzuk a rendőrelvvet (alias csendőrelv, közrefogási elv), amit megtehetünk, mivel tudjuk, hogy az n-edik gyök szigorúan monoton növekvő függvény, tehát kisebb szám n-edik gyöke kisebb, mint egy nagyobb számé.
[math]\sqrt[n]{\frac{1}{3}} \lt \sqrt[n]{ 2-\frac{5}{n^2+2} }\lt \sqrt[n]{ 2}[/math]
Tudjuk, hogy:
[math]\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{\frac{1}{3}}}=1[/math]
[math]\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n]{ 2}} =1[/math]
Így a rendőrelv miatt:
4. Feladat
Legyen [math] f(x)= xarctan\frac{1}{x^2}, x \neq 0[/math] és [math]0, x=0[/math].
a, Hol folytonos és hol deriválható [math]f(x)[/math]?
b, Hol folytonos [math]f'(x)[/math]?
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)5. Feladat
Igaz vagy hamis? Válaszát indokolja!
a, Ha [math]a,b \neq 0[/math] és [math]ab = ac[/math], akkor [math]b = c[/math]
b, Ha [math]\lim {a_n} = \lim{b_n} = 0[/math] akkor [math]\lim{ \frac{a_n}{b_n} }= 1[/math]
c, Ha f korlátos [a,b]-n, akkor folytonos [a,b]-n
d, Ha f szigorúan monoton nő [math]\mathbb{R}[/math]-en, akkor [math]\lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) }= \infty[/math]
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)6. Feladat
Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat:
[math]a, \; \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx [/math]
[math]b, \; \int \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+3}dx[/math]
a, Feladat:
Parciális törtekre bontjuk az integrandust:
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx +C}{x^2+1}[/math]
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A(x^2+1)+ x(Bx +C)}{x(x^2+1)}[/math]
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{Ax^2 + A + Bx^2 + Cx)}{x(x^2+1)}[/math]
[math] 1 = (A+B)x^2 + Cx + A[/math]
Két polinom csakis akkor lehet egyenlő, ha megegyeznek a megfelelő együtthatóik:
[math] A=1[/math]
[math] (A+B)=0 \Rightarrow B = -1 [/math]
[math] C=0[/math]
Tehát:
[math] \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}[/math]
Így már könnyű integrálni:
[math] \int \frac{1}{x(x^2+1)}\;dx = \int\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1} = ln|x| - \frac{1}{2}ln|x^2+1|+C [/math]
b, Feladat:
[math] \frac{x^{\frac{1}{2}}}{xx^{\frac{1}{2}}+3} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3} [/math]
Mi is a nevező deriváltja? Jéé, az majdnem a számláló! Ennek örülünk :)
[math] \frac{2}{3} \int{\frac{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}+3}}\;dx = \frac{2}{3}\;ln{|x^{\frac{3}{2}}+3|+C}[/math]
