Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23
1. Feladat
Adja meg az összes olyan [math]z[/math] komplex számot, melyre [math]z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}[/math].
Végezzük el először a [math]2j[/math]-vel való beszorzást.
[math]z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4[/math]
Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge [math]\pi[/math] és nagysága 4, így:
[math]z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)[/math] Mert
Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
[math]z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})[/math] ahol [math]k=0,1,2,3[/math]2. Feladat
Határozza meg az alábbi határértékeket!
[math]a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?[/math]
[math]b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?[/math]
a, Feladat:
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}= \lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}= \frac{9+0}{1-0}=9[/math]
b, Feladat:
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n= \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n= e^{-\frac{1}{3}}[/math]3. Feladat
Melyik igaz, melyik nem:
a, Ha [math]f[/math] folytonos [math][a,b][/math]-n, akkor [math]f[/math] korlátos [math][a,b][/math]-n
b, Ha [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n, akkor [math]f[/math] korlátos [math](a,b)[/math]-n
c, Ha [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n, akkor véges sok pont kivételével [math]f[/math] deriválható [math](a,b)[/math]-n
d, Ha [math]f[/math] értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható [math](a,b)[/math]-n akkor folytonos itt
e, Ha [math]f[/math] deriválható [math](a,b)[/math]-n, akkor [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
Ha tudod, írd le ide ;)4. Feladat
Hány megoldása van az [math]x^{13}-13x-9=0[/math] egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!
Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:
Hány zérushelye van az [math]f(x)=x^{13}-13x-9[/math] függvénynek?
Deriváljuk a függvényt először:
[math]f'(x)=13x^{12}-13[/math]
Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.
[math]13x^{12}-13=0[/math], ebből [math]x=-1[/math] vagy [math]x=1[/math]
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:
ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
[math]f''(x)=156x^{11}[/math] , ebből [math]f''(-1)=-156[/math] és [math]f''(1)=156[/math].
Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
Így igaz, hogy a függvény a [math](\infty,-1)[/math] intervallumon szigorúan monoton nő, a [math](-1,1)[/math] intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a [math](1,\infty)[/math] intervallumon szigorúan monoton nő.
Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
[math]f(-1)=3[/math] és [math]f(1)=-21[/math] -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: [math]f(0)=-9[/math], tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.5. Feladat
Határozza meg az alábbi integrál értékét!
[math]\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?[/math]
A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.
[math]v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x[/math]
[math]v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}[/math]
[math]\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x= [xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=[/math]
[math]\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;[/math]-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:
[math]\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=[/math]
[math]\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=[/math]
[math]\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=[/math]
[math]e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2[/math]6. Feladat
Határozza meg az alábbi határértéket!
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?[/math]
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
[math]\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=[/math]
[math]=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x= x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)[/math]
Most ezt visszahelyettesítjük:
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=[/math] [math]\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}[/math]
[math]\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}[/math]
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
[math]\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0[/math]
